m

dçx = •xabx dz,

di m

différentielle qui est identiquement la même que celleobtenue par l’élimination, en substituant à la place de xsa valeur bz.

Soi t pour second exemple çix=a-\-bx l etx-mz-{-nz',nous aurons

inr = > £ = m+ ™

et

3bx*(m-\-inz)

d<px _ 4( a +V> , ) idy *\/y ’

nous aurons donc

dçx d<px dy tjcja+Vy?

dx dy ' dx x 3 .)/y *

d’où, en mettant pour y sa valeur,

dfx=

x

.dx

ou

dçx = ^bx\m-\- r >.nz)dz.

^9* Si la variable x de Çx, dépendait d’une autre va-ri ahley, dépendant à son tour d’une troisième z, c’est-à-dire, si l’on avait

xszifyet y=6z,

'hy et 9s étant des fonctions quelconques dey et de z, onobtiendrait la différentielle de tpx, en fonction du seulaccroissement <&, parle produit des trois dérivées

dçx dx dydx ’ dy ’ «fis '

4t. Sans nous arrêter ici à la déduction des différen-tielles successives d’une fonction <Çx dans laquelle .r estune variable dépendante, déduction qui ne présenteaucune difficulté et dont ce qui va suivre offrira d’ail-leurs un exemple, appliquons les considérations précé-dentes à la génération de la fonction générale Fx, aumoyen des accroissemens dy d’une variable indépen-dante y avec laquelle x est liée par l’équation x=^y.La fonction Fx est alors proprement F(ify).

Or, eu appliquant à cette dernière le théorème deMaclaurin (A), nous aurons ( l)

F(4y) = F(^)+^ ^4

I .2

dy ’

etc.,.

<fcst-&-dire qu’on aurait

dÇx =

dÇx dx dydx * dy dz' Z '

Le point placé sur y indiquant toujours qu’il fautfairey=o après avoir pris les différentielles.

Mais, d’après la formule du n° 38 , nous avons

C* qui est une conséqueuce de ce qui précède et peutdétendre i un nombre quelconque d’équations auxi-liaires.

4o. Ces formules peuvent être employées avec avan-tage dans la différentiation des quantités compliquées jun seul exemple suffit pour enseigner leur emploi.

Soit

«•pposon

(0

nous aurons

| $>x=(a-fV» 4 .. • (*)•

l’équation (r) nous donnera

dy o.cdx ~~ x 3

*1 l’équation (a)

rfFar _ rfF.r dxdy dx ' dy'

Ainsi désignant par A, cette dérivée, ou posantdFx

~¥ = k '

nous aurons évidemment

dk, _ dk t dx

dy dx ' dy

et par conséquent

dk, _d'Fxdy dy ’

désignons de nouveau cette seconde dérivée par etpoursuivant de la même manière, nous trouverons, enrassemblant les résultats,

d F(4y) _ d Fx _ dFx dx _ dFx _ ^

dy dx dx ’ dy dy *