DI
d'fi'ky) d*Fx
dy'
dW&y)
dy i
dWto)
dy*
dy 1«PFx
~dÿ r '
<f 4 Fx'■ dy*
_ MAj «O. ^ _ t< " 1 ^
dk,
dx
dS,
dx
dy ~
~ dÿ
dk,
dx
dk ,
dx'
dy
~ dy
dk
dx
_ dk,
dx
dy “
dy
= -r-* = Ai
-3- =-— J = A»
etc.
etc.
Ai =
A,
dFxdtp Je
1 -.d\ dF *
m
dtpjc L dtpàAA = dpï" d [dfï' d \_~cWx' '{^x]]]
etc.
etc.
DI
et alors ces nouveaux coefficiens seront
, dFx . dk, dk,
A ‘ = *dVx' Aî=ï ^’ etC ” ete *
ou
Substituant ces valeurs dans l'expression (/), elle de-viendra
Fx = Fx-f,Ÿ.^ + À. + »7^73+ etc -
Le point indiquant qu’après lesdifférentiations il fautdonner à la variable x la valeur qui résulte pour cettequantité de la relation^ = o dans l’équation x = 4 y*Mais si nous désignons par px la fonction réciproquequi donne y—tpx, nous aurons définitivement (»t)
Fx= Fi+Â, + A. + As , ( ^+ etc -
et alors le point indique qu’il faut donner à x, aprèsles différentiations, la valeur qui rend px=o.
Celte formule, qui donne la génération en série d’unefonction quelconque de la variable x au moyen des puis-sances progressives <px , (yx)*, [(<px) 3 d’une autre fonc-tion arbitraire de la même variable, est appelée le théo-rème de Paoli, du nom du géomètre qui l’a décou-verte.
42 . En examinant la formation des coefficiens A,, A,,Aj, on peut les exprimer ainsi qu’il suit, en les rendantindépendans les uns des autres
dFx
Ai - T *
dfx
I
d \dFx ]
I
î.ï *
d<fJc ’
'UiJ
1
I
J I
rrfFx'
~ 1 •» .5 •
dfx'
[dyx '
0
Al =Ï7 ïVS74
I
’ dfjc
•fe
' ^dfX '
etc.
etc.
Si nous divisons ces valeurs par les coefficiens numé-riques qui entrent dans l’expression (/«) ou si nous fai-sons
A?=A,,-^-=A -À!_a _À* _ *
1 i.a *’i.2.3 3 ’ i . 2 .3.4~ A *
Nous pourrons lui donner la forme plus simple («)
Fx.=F.r+A ^r-f-A^^xj’-j-A/ÿX^-j-A,(?x)4-f. etc.
43. On peut encore obtenir d’autres expressions beau-coup plus simples de ces mêmes coefficiens. Pour ceteffet, représentons par A 0 le terme Fi: qui est une quan-tité constante, et considérons comme entièrement indé-terminés les coefficiens A 0 , A,, A., etc. de la série géné-rale
Fx= A.-l-A.çx-f-A.ifkX’-l-Aîÿa^-J-A^fxH-f-etc.
désignant en général par <px™ la puissance m, non de Xmais de Qx.
En prenant les différentielles successives des deuxmembres de cette équation, nous aurons la suite d’é-galités
d Fx=A,d ÿX-j-A^ ÿx’-J-Ajrf <fX*-\-k A d çx^-J-etc.</ J Fx=A,rf , yx-j-A s </’ÿX , -}-Ajii , çx 3 -|-A*cf’ÿX' , 4 -etc.r/ 3 Fx=A i r/ 3 ÿX-j-A,ri 3 ÿX*-|-A 3 rf 3 ÿX 3 -|-A*d 3 ÿX 4 -f-etc.<éiFxi=A I <f , yx-}- A//'^x 3 -|- Aji^yx^-l-Aji^x^-f-etc.etc. etc
Or, si l’on fait t?x=o, toutes les différentielles danslesquelles l’exposant de ^x est plus grand que celui delàcaractéristique deviennent zéro, car il est facile de voirque dans la différentielle générale
d"tpx m
lorsque m est plus grand que n, ç>x entre comme fa c "teur. Désignant cette circonstance par un point placé surx, et observant de plus que lorsqu’on faityx=o, on a engénéral
d m 9x m — pi(jh — 1 )(/«— 2 ) ... 3 . 2 . (dfx) mnous aurons les équations
Fx=A 0
d Fx=k,d<f,i: