DI
DI
m
A
Ce qui uous appiend que la valeur de est infini-ment grande. On trouverait de même lorsque mfn, enPrenant les différences de l’ordre n , une expression dela forme
</»X
d”X'
o
R
qm nous ferait connaître la valeur infiniment petitedelaX
quantité ^7.
A
On peut conclure de ce qui précède la règle suivante :
Pour déterminer la vraie valeur d'une fraction ^ qui
devient | par une valeur particulière de la variable x ,dijférentiez séparément les deux termes X et X’ et exa-
’ninez si les résultats se réduisent l’un et l’autre a o«X
P ni 'la valeur hypothétique de la variable; si cela est,
dj/érentiez une secondefois et examinez si ji^jse réduit
encore à | ; continuez enfin a différenlier jusqu’à ce que^ es deux ternies de la fraction ou seulement un ne s’éva-nouissetu pas par ta valeur donnée à la variable , celte
dernière fraction sera la vraie valeur de ~. Cette va-
leur sera finie dans le premier cas, nulle si le numéra-leur est 0 ( et infinie si c’est le dénominateur.
48. Prenons pour exemple la fraction
X 3 —3x -t ~'2
x > —6x a +8x—3
Cette fraction devenant - lorsque X— 1 . Prenant les dif-
f » •
ei cntielies premières, nous aurons
d\x 3 —
3aj + a|
3x’—3
d 3x 2
6x
d 4æ 3 —12x4-8
iax 2 —ia
qui devient pourx=o. Différentions séparément lesdeux termes, et nous aurons
d{a x — b x ) a x .\oga.dx — 6 J log b.dx
dx ~~ dx
= a^logrt—t-vlogl»
expression qui se réduit à log a — log b , en faisantx—o.
Lorsque le facteur commun , qui réduit la fonctionfractionnaire à £, est e'ievé à une puissance fractionnaireles différentiations ne peuvent ie dégager, mais commeil est toujours possible alors de l’isoler, on peut immé-diatement trouver la vraie valeur de la fonction.
4g.Dans tout ce qui précède, nous avons considéré lesdifférences successives dans l’ordre direct, c’est-à-dire enpassant de la première à la seconde, de la seconde à latroisième et ainsi de suite, et nous avons formé ainsi unesuite de fonctions dérivées
fX ou
? x
A fX
il fX
A’yX
d'<fX
A 3 ?X
d\x
etc.
etc.
1 1 4x 3 —lux-j-Ô
d x 4 — 6x>+8x-3 ^
faisant x=i, cette nouvelle fraction se réduit encore à
o
Difféventiant de nouveau, nous trouverons
ce qui se réduit à —, en faisant x=i . Le dénominateurO
Seul se réduisant à zéro, nous en concluions que la quaitité proposée est infinie dans le cas de x—i-Soit maintenant la fraction
a*—
cette formation successive des différences dans l’ordredirect, entraîne comme nous l’avons déjà dit, la con-sidération opposée de leur formation dans l’ordre in-verse j or , le problème de construire la différence A’yx,par exemple, au moyen de la différence supérieureA 3 tpx est l’objet général dn calcul intégral.
On nomme intégrale ou somme la différence prisedans l’ordre inverse. Ainsi, 2 étant la caractéristique del’intégrale pour les différences finies, et f celle de l’in-tégrale pour les différentielles, on écrit
2[A 3 ,x] —Afx J^[d}qx\=d'qx
2[A’çx] =A <fX J' <fX
ï[AÿX]= fX J'[dfX ]== fX
et, en continuant avec des indices négatifs,
2[yx]=A—!çpx J' [çx]=d— Ijx
2[A~' I yx] =A~ J ÇX J'\d—lqx\=d~*fB
2[A~ 2 ox] =A— 5 ÿX f > [d— 2 yx]=d— 3 yX
5g