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on a de même

DI

£ j 2 [a 3 ? x] | = 2[A’<px] — AyxJ | J' [d 3 ?x] } = j "* [d' 9 x] = d 9 x

ou

2’A 3 <fX = à 9 X 'J'*(P 9 X ~d 9 Xen général

I m [ A"ipx]=A" ~ m fX m [c/ n 9 x]—d n ~ m 9 x

Comme aussi les expressions

2 m (<px) et A ~ m 9 X , (?*) et d~ m (<px)

AF(x,/,z,etc...) = Ax-f A/+

+ 0 Az+ctc .

et dans le cas des différentielles

dF(x, y, z, etc ...)=(j-^Jx+

+ 0 lfe + ctc "”

c’est-à dire, quela différence totale se trouve en prenantla somme des différences prises pour cliaquc variableen particulier comme si toutes les autres étaient con-stantes.

Soit par exemple

F (x, y) =x 3 +3 x*/+ax/*

sont équivalentes.

5o. En appliquant ces considérations à la loi fonda-mentale (e) , elle devient pour le cas des différentiellesinverses ou des intégrales

en différentiant d’abord comme si y était constante,nous aurons d’une part '

(

dF(x.y)

dx

)

■ r/x=3 xv/x -)- 6x y.dx-\- vy'dx

(F x~/x) = Fx. J' m fx — ^-</Fx. f m ^fx+ 'l^±ll d > Vx .f m + V x

- ,n(rn±^n±?±.d'Fx. f^fx

-f- etc.

en multipliant les deux nombres par dx' n .

Les applications de cette loi, ainsi que tout ce qui re-garde le calcul des différences inverses, se trouveront àl’article Calcul intégral.

5i. Il nous resterait à examiner le cas où les fonctionsque l’on veut différentiel’, contiennent plusieurs varia-bles, mais ce cas ne présente aucune difficulté, et l’onpeut immédiatement conclure des principes précédonsque la différence d’une fonction F(x ,y , z , etc.) d’unnombre quelconque de variables, reçoit par l’accroissemeut particulier dèthaque variable "un ''accroissementdistinct ; ainsi désignant comme c’est l’usage parf AF \

( -- 1. Ax, l’accroissement ou la différence de la fonc-tion F correspondante à l’accroissement Ax de la varia-is ■ . " •-

olcx,par^-^J.A/, la différence correspondante à l’ac-

croissement A/ de la variable y, etc., la différencegénérale sera la somme de ces différences particulières,

et nous aurons

et, de l’autre, en différentiant comme si x était cons-tante

Zx'dy+^xydy

d’où, nous aurons pour la différentielle générale (z)

dF(xy)=(3x , -\-6xf-\-9.y 1 )dx-\-(3x' 1 -{-^xy)dy

En effet, par la construction même des différences»on a

dFixy)=F(x+dx ,y-\-dy)—F(x.y)c’est-à-dire, dans l’exemple qui nous occupe,

(x-t-r/x) 3 -)-3 (x+r/x) 1 (y+dy) -f- 2 (x-| -dx) (y+dy) K

—x 3 —3 x’/-

%

xy*

ou, en développant les produits,

x 3 -t-3x’dx-|-3x. dx'. -f-'/x 3

t

-j-3 x'y -\-C>xy.dx-\-3ydx*-}-3 x'dy -f- Cxdxdy-\-3 dy. dx'-f-y-xj* -f -iy’dx

+Kxydy +i {ydx.dy

V

■\--xxi ly* -f -dx.dy*—x 3 —3x*v—ax/ 1

opérant les soustractions et retranchant toutes

les qu» 1 *'