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DI
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à celle que nous avons donnée ci-dessus pour les nombres.On ordonne d’abord le dividende et le diviseur parrapport à une même lettre, commune à l’un et à l’autre,de manière que les puissances consécutives aillent en dé-croissant du premier terme au dernier. On divise en-suite le premier terme du dividende par le premier dudiviseur, d’après les règles que nous venons d’exposerpour les monomes , le quotientqu’on obtient est le premier terme du quotient général demandé. Multipliantle diviseur par ce terme trouvé, et retranchant le pro-duit du dividende, on a un premier reste dont le pre-mier terme divisé par le premier terme du diviseurdonne pour résultat le second terme du quotient. Opé-rant ensuite comme ci-dessus, on obtient un second restelequel sert de la même manière à la détermination dutroisième terme du quotient, et ainsi de suite jusqu’à cequ’on trouve o pour reste , ou un reste qui ne puisseplus être divisé.
des termes du quotient; en effet, on voit que les puis-sances de a décroissent à mesure que celles de b devien-nent plus grandes, et on pourra conclure par analogieque le dernier terme de ce quotient général est a°b m —'et que ce quotient lui-même est
a m—i a m —*b -j- a m — 3 b' -|- etc.
a'b m —^ + ab m ~» -)- b m ~ 1 ;
pour s’en assurer il ne faut que le multiplier par a — b ,ce qui donne
a m -J- a m —'b a™—'à 1 -J- etc..
-j- a 3 b m ~ 3 + a'b -f- ab m ~ l— a m ~ 'b — a m -'b' — etc....
— a 3 b m — 3— a'b" «—*— ab m — 1 — b m
dont la somme est effectivement a m — b m .
Exemple 4 e . Diviser a 3 — ab'-\-b 3 par a-j-i
Exemple i* r . On demande le quotient de la divisionde 3a 3 -|-ga’—5 a — 1 5 par 3a’—5
3a 3 -(-ga’—5 a — 1 5—3a J -j-5 a
3 a’—5
a -{-3 quotient
ga’—i £* premier reste.
— 9 a *+ 1 5
o second reste = o.
Les produits de 3a’—5 par a et par 3 sont 3a 3 —5aetga’—15, mais pour les soustraire il faut changer lessignes et ils deviennent —3a 3 -|-5a, —ga’-|-i5.
Exemple a'. On veut diviser 4a 3 — l’jab'-^-ib 3 para-f-?.à
4a 3 — i nab' 4- ai 3 j y— ^ , ———4« 3 -t- Sa'b ^ \ 4 a'—Sab—b'
-J-8a’à—17 ab 1 premier reste—8a’à-}-it>aô’
— ab‘-\-nb 3 second reste-\-ab' —aà 3
o troisième reste.
quotient
Exemple 3'. Diviser a m — b m par a—bt l a —&
—a^y-a^-’b ‘ a"»—’-j-a"—>à+a«~ 3 à’+a'"—46 3 -f.etc.
-) -a m ~'b — b m— a m ~ l b-\-a m —'b'
-|-a m — 'b' — b m— a m —’à’-{-a m —
3^ 3 -£m
— a m —$b 3 -\-a m —‘ 4t<
-J-a»»—4M—à™etc. etc.
L’opération 11 e pourra se terminer tant que l’exposantm restera ainsi général, mais il est facile de saisir la loi
a 3 —a£’-|-Z>‘ ( ^t^-rI a'—ab
—a 1 — a'b
— a'b — ab *
-)-a ! i-)-aà’
~+b~
Le quotient sera donc égal à a'—ab plus la fraction
b 3
, comme ici le numérateur ne contient plus la lettre
a+b
a, on ne peut continuer la division sans trouver destermes fractionnaires, et alors dans ce dernier cas, lors-qu’on veut continuer la division, on peut la pousser al’indéfini car il n’y a plus de raison pour s’arrêter à unterme plutôt qu’à un autre; le quotient pris donc en gé-néral est composé d’un nombre indéfini de termes don 1chacun peut être déterminé par une loi très-simple aUmoyen de ceux qui le précèdent, comme nous allons 1®voir pour le cas dont il est question.
b s
-b 3 -»
a
M
a-\-b
b 3 M . b* b 6
a'
-etc.
-premier reste
+ *+*
^ a r a'
-1-second reste
a ’
l L
a'
b 6
-r troisième reste
a J
etc.
La loi des termes du quotient est facile à saisir»
lear
forme générale est
b m +’
a m
et ils sont
alternative!»® 111