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positifs et négatifs. On peut encore exprimer cette der-nière circonstance, en observant que (—est positiftoutes les fois que m est impair, c’est-à-dire que ni—\ , 3 ,5 , 7, etc., et négatif lorsqu’il est pair, c’est-à-dire queWl =2,4, 6 , 8 , etc.; en effet, lorsque m est impair,'n+i est pair, et (—i) m + I = -J- i ; lorsque m est pair,n -f- t est impair et (—— i. Ainsi la formea f>solument générale des termes de ce quotient est
22. Nous allons, avant de terminer cet article, exa-miner les différentes formes sous lesquelles les suites pn>duites par la division peuvent se présenter.
La division de a par a — b, donne, en suivant lesprincipes exposés ci-dessus,
a—b
, 6 , P , b 3 , P . .
i -4- — *4“ — *4* —f -f- t *4“ etc.
1 a 1 «* 'a? a 4 *
b m + 1
' fl"*
Connaissant ainsi cette forme générale, pour trouverUn terme quelconque, le quatrième par exemple, il fautY faire m=4 et on obtient
_P_
a k
pour ce terme, comme nous l’avons obtenu ci-dessusPar la division. On appelle en général suite ou série uneluantité composée, comme le quotient eu question, d’unnombre indéfini de termes; et ternie général de cette
font —a
Ul te une expression, telle que (— ^ ■, dont
0,1 peut tirer tous les termes qui la composent.
I^es restes successifs de cette division sont aussi liés parntte loi très simple ; eu examinant leur génération
Si dans cette égalité on fait a=b, elle deviendra
~ = i-f-i-f-i-j-i-f-i-j-i-j-i-f- etc.
Le second membre de cette égalité pris dans sa généra-lité est nécessairement infiniment grand, ainsi la divisiond’un nombre quelconque par o produit Yinfini. Effecti-vement si l'on considère ceque devient un quotient donton diminue successivement le diviseur, on remarquerasa croissance rapide
a
a
a
i , —- = 2 a
~z=8a, — i6oa
Tsi a
Donc, lorsque le diviseur devient infiniment petit, ouzéro, le quotient est infiniment grand; c’est ce que donnel’égalité en question.
23 . En faisant dans la même fraction
P , b 5 b 6 b ?
° n Vo *l avec facilité que leur forme générale est
bm+3
-r, a=z i et é=i
a—b
a m
Si on voulait terminer l’opération au premier, second,troisième reste, etc., pour compléter le quotient, il fau-drait alors lui ajouter une fraction dont le dernier resteserait le numérateur et le diviseur le dénominateur; c’estainsi qu’on pourrait avoir
on a
ou
2 =
i—i
I + i + ï+ i + iV + etc *
P
P
b*
a-\-b
a
a
(a+b)
P
p
p
p
a-\-b
a
a 2
+
a 2
(a+b)
P
p
p
p
P
II
+
1 a
a
a J
a 3
a î (a-\-b)
etc.
etc.
Mais
la fr
Cn considérant le quotient dans toute sa généralité,
•ction
P
est exprimée par la suite indéfinie
P P P
a a‘ a ’
P
— — etc.
Dans cette suite, les termes devenant de plus cn pluspetits , on voit facilement qu’on peut, en n’en prenantqu’une quantité déterminée obtenir des valeurs appro-chées du nombre 2, qui est ici la valeur totale, de lasuite; en effet on a
>+T+?+ 5 ==i l ’
i+i+H-i+h=ü etc -
et il est évident que les quantités i, ^ , 2, , *1 diflfê-
•*4- o ID
rent d'autant moins de 2 qu'il entre dans leur composi-tion un plus grand nombre des termes de la suite.
Les suites, dont les termes sont ainsi de plus cn pluspetits , se nomment convergentes à cause de leur pro-priété de pouvoir donner au moyen d’un nombre limité
6'l