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Ainsi lorsque plusieurs chiffres sont écrits les uns a cotédes autres, si l’on écrit au-dessous la progression géomé-trique

etc. io 5 , io*, io\ io’, io», io #

en faisant correspondre io° avec le chiffre des unités,la valeur relative de chaque chiffre est égale à sa valeurabsolue multipliée par le terme correspondant de la pro-gression. Par exemple 3 à la quatrième place à gauchev aut 3Xio 3 ou 3 mille ; 2 à la troisième place vaut2Xio* ou 2 cents , etc. Or , le choix de dix caractèresest tout-à-fait arbitraire et l’on aurait pu tout aussi bienen prendre plus ou moins pour former un système deNumération capable comme le nôtre de donner la con-struction de tous les nombres. Voy . Numération.

Supposons en effet que nous n’ayons que cinq carac-tères o, i , 2 ,3 , 4 , et donnons-leur une valeur de cinqen cinq fois plus grande, selon qu ils occupent desplaces plus reculées à la gauche du chiffre des unités

i o représente le nombre cinq.ioo le nombre vingt-cinq.

iooo le nombre cent vingt-cinq .

etc. etc.

cest-à-dire qu’ayant comme ci-dessus plusieurs chiffresécrits les uns à côté des autres, si on leur fait correspondre

la progression

etc. (5) 5 , (5>t, (5) 3 , (5)*, (5) 1 , (5)°,

leur valeur relative sera égale à leur valeur absolueMultipliée p ar i e terme correspondant de la progres-sion.

Nous devons faire observer que dans un tel systèmede numération le chiffre 5 n’existe pas, et que nous nenous en servons ici que pour réduire à notre systèmedécimal les quantités exprimées dans ce système de cinqchiffres.

En général m étant le nombre des chiffres d’un systèmede numération, la progression

etc. m 5 , m 3 , m 3 , m*, ni 1 , m°

es t 1 échelle arithmétique de ce système; m est la basede l’éclielle.

Ou peut se proposer sur les échelles arithmétiquesPlusieurs problèmes dont nous allons exposer les plus

'Mportans.

1 • Une quantité À étant exprimée dans une échelle m,°nver son expression dans une autre échelle n.

Soit l’expression donnée (i)

A- = a.mp-\-b.mP—'-\-c.mp— >-(-etc,. .e.m'+f.m 0 ,

a> c > d, etc., étant les chiffres de l’échelle m.

m

Désignons par a', b', c', d', etc. les chiffres qu’il s’a-git de trouver dans l’échelle n, et par q l’exposant dudernier terme de la progression , nous aurons ( 2 )

A = a'.nq-^-b'.né— l -\-c'ni— ’+etc.. .e’ .n l -\-f .n*

et le problème se réduit à la détermination des chiffresa !, b', c', etc. au moyen des chiffres a, b, c, etc.

Or, si l’on divise l’expression ( 1 ) par n , le reste decette division sera nécessairement plus petit que «; ainsidésignant le reste par r , et le quotient par t , on aura

a.mP-\-b.mP— l -\-c.mp— “etc.. . = t.n-j-r

r sera donc le chiffre des unités de A dans l’échelle n.

Divisant de nouveau le quotient l par n, on obtien-dra un second quotient t , et un second reste r,, et oaaura aussi

t=t t .n+r t

Divisant de même t , par n , on aura encoret,=U.n-\-r t

Poursuivant de la même manière jusqu’à ce que ledernier quotient soit plus petit que n et rassemblant lesrésultats, on aura

A =t .n-f-rt —t t .n+r,t,=t,.n+r t

etc. etc.

tp—z=t / i.n+r /i

Substituant successivement ces valeurs les unes dansles autres ou formera l’expression

A= ^71/*+etc.... r 3 . n 3 -f- r,. n’-J-r,. n 1 -j-r

ce qui est évidemment l’expression de A dans l’échelle npuisque toutes les quantités r,, r ., r„ , etc. sont plus pe-tites que n, et peuvent conséquemment être représen-tées par les chiffres de cette échelle.

Ainsi, pour passer d’un système de numération a unautre, il faut diviser la quantité donnée par la basedu système en questiou, le reste de cette première divi-sion est le chiffre des unités. Diviser ensuite le quotientde cette première division par la même base, ce quidonnera pour reste le chiffre des dixaines. Une troisièmedivision fera connaître le chiffre des centaines, etc., etc.

Mais pour pouvoir faire toutes ces divisions, il fautd’abord quela base dusystème demandé soit exprimée enchiffres du système donné, ce qui est toujours possible.En effet, m étant la base du système donné, et n celle