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par conséquent que l’on a x—y. Voy. Numération,pour les principes de la théorie des échelles arithmé-tiques.

Échelle de front ( Persp■). Droite parallèle ala lignehorizontale, et divisée en parties égales, qui représen-tant des mètres ou des subdivisions du mètre.

Échelle fuyante (Persp.). Droite verticale diviséeon parties inégales, qui représentent des mètres ou dessubdivisions du mètre. T^oy. Perspective.

ÉCHELLES DE PENTE ( Géom.). Géométrie deséchelles de pente. Une des branches de la géométrie des-criptive.

Daus la géométrie descriptive, on détermine la positiondes points dans l’espace à l’aide de leurs projections surdeux plans qui se coupent } et pour plus de simplicité ,°u suppose l’un de ces plans horizontal et l’autre verti-c al (Voy. Géométrie descriptive). Cette méthode, quiest rigoureuse, et d’une application facile toutes les fois•lu’il s’agit de surfaces dont la génération peut être ri-goureusement définie, se trouve en défaut lorsqu’on veuthappliq uer à des surfaces déterminées seulement pardes conditions qui ne peuvent être exprimées par l’ana-Syse. Ce genre de questions se présentant fréquemmentdans les applications, on a dû chercher un moyen depouvoir les résoudre, et on y est arrivé à l’aide deséchelles de pente. Dans cette géométrie nouvelle, la po-tion des points dans l’espace, est déterminée parleur projection horizontale et par leur distance à unplan horizontal fixe de position , et passant au-dessusde tous les points que l’on considère. Ces distancescomptées sur les verticales abaissées des points sur ceplan, sont exprimées en nombres. Il est évident d’a-P*’es cela qu’une ligne droite sera complètement déter-minée lorsqu’on connaîtra sa projection horizontale etles cotes de deux de ses points. Supposons en effet queAB ( Pl. XXXIII, fig. 2 ) étant la projection horizon-tale d’une droite, a et (3 les cotes de ses points A et B, ondemande la cote x d’un quelconque de ses points C.

Aux points A, B et C élevons des perpendiculaires auplan horizontal deprojection. SoitMN l’intersection duplan horizontal, par rapport auquel sont comptées lescotes des points de la droite, et qui prend le nom deplan de comparaison, avec le plan projetant de la droite.Si a partir des points D et E , on porte des longueurset EB' égales à a et à jS , la droite A'B' sera la droite

dans 1’

espace , et si nous menons par le point A' et dans

I e plan projetant l’horizontale A’C" , des deux trianglessemblables A’B'B'', A'C'C " on déduira la proportion.

A'B" ou AB : A’C" ou AC :: B'B" : C'C"

en désignant AB par a et AC par h, cette proportion

deviendra

a : b :: P— a : X — a.

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dans laquelle tout est connu excepté x, et qui par con -séquent suffira pour sa détermination. Si au contraire xétait connu , et qu’on demandât la position du pointqui lui correspond, la même proportion servirait à ré-soudre la question, et l’inconnue serait alors b.

Un plan étant complètement déterminé lorsqu’on con-naît la position de trois de ces points , nous allons cher-cher comment nous pourrons déterminer les cotes d’unpoint quelconque d’un plan, lorsque nous connaissonsla projection horizontale et les cotes de trois de sespoints.

SoientA, B et C f Pl. XXXIII,3) les projectionsde trois points d’un plan , et a, p et y les cotes de cestrois points. On demande la cote x d’un point quelconqueD situé dans ce plan. Nous supposerons a<p<)y.

Joignonsles trois points A, B etC par des droites, et surAC déterminons le point E qui a la même cote que lepoint B. La droite BEsera horizontale, et toutes les hori-zontales qu’on pourra mener dans le plan donné lui se-ront parallèles, puisque ce sont les intersections d’unesuite de plans parallèles par un même plan. Menons parle point D une horizontale qui rencontre la droite AB enF. Ce point se trouvant sur la droite AB, on aura la pro-portion

AB : AF :: p—a : X —a

et par conséquent, on pourra déterminer x.Si du pointA nous abaissons la droite AH perpendiculaire sur l’ho-rizontale BE, nous aurons encore la proportion

AG: AI:: AB: AF

ou

AG : AI :: P— a : X — a

qui nous servira également à déterminer x.

Si maintenant nous déterminons le point L de ma-nière que la différence entre la cote du point A , et celledu point L soit de i m ,oo , en portant de L en M, la dis-tance AL, le point M aura une cote différant de 2 m oo decelle du point A , puisque dans la proportion ci-dessusle deuxième antécédent étant le double du premier, lamême relation devra exister entre les conséquens. Onpourra donc avoir ainsi la position de tous les points duplan dont les cotes différent de celle du point A d’unnombre exact de mètres. En divisant la longueur AL endix parties égales, on aura des points successifs dont lescotes ne différeront que de o m , io. Pour alors obtenir lescotes d’un point quelconque O du plan, il suffira d’abais-ser de ce point une perpendiculaire sur la droite AH etde lire sur la graduation. Cette droite qui sert ainsi à dé-terminer les cotes de tous les points d’un plan, s’appelle1 echellc de pente de ce plan Toute droite menée par le