point À pourrait servir d’échelle de pente, mois il estbeaucoup plus simple de l’astreindre à être perpendicu-laire à la direction des horizontales du plan.

Si le plan était vertical , il serait déterminé par sa.race et par les cotes de deux, points de cette trace. S’ilitait horizontal, une seule cote suffirait pour le déter-miner.

Lorsqu’une ligne courbe sera plane , elle sera com-plètement déterminée par sa projection horizontale, etpar les cotes de trois de ses points ; car dans l’espace ellesera l’intersection du cylindre veitical qui la projette,par le plan qui la contient, et qui est complètementconnue par les cotes de trois de ses points.

Si on imagine qu’une surface courbe soit coupée parune suite de plans horizontaux équi-distans, et qu’onprojette sur un même plan horizontal toutes les courbesd’intersection, ces courbes qui prennent le nom ilecourheshorizontales ou de niveau , suffiront avec leurs cotespour déterminer complètement la surface. Supposons eneffet qu’on veuille déterminer la cote d’un point situéentre deux courbes horizontales Si par le point on faitpasser un plan vertical normal à l’une des courbes quil’avoisinent, il coupera la surface suivant une courbe,qui se projettera sur la trace horizontale du plan, tracequi sera perpendiculaire à la projection de la courbe àlaquelle ce plan est normal dans l’espace. Si les courbesentre lesquelles le point de la surface est placé, sont très-rapprochées, on pourra concevoir que la courbe de sec-tion du plan normal se confond avec une droite passantpat le point, et terminé aux deux courbes, et dont parconséquent les cotes des extrémités sont connues. Rienne sera plus facile alors que d’obtenir la cote du pointdemandé. On conçoit alors que la surface donnée estremplacée par des portions de surfaces gauches engen-drées par le mouvement d’une droite qui s’appuie surdeux coui'bes consécutives, en étant astreinte à la con-dition d’être constamment normale à l’une d’elles.

Ces préliminaires bien conçus, voyons comment nouspourrons résoudre les différentes questions traitées parla géométrie descriptive.

I. Une droite étant donnée par sa projection et lescotes de deux de ses points , trouver la tangente de Van-gle qu'elle fait avec l’horizon.

Si par l’un des points connus de la droite, on mèneune horizontale, et que par l’autre on abaisse sur cetteligne, une perpendiculaire, on formera un trianglerectangle, dont l’un des côtés de l’angle droit sera lalongueur de la projection de la droite , et dont l’autre,opposé à 1 angle dont on demande la tangente, seraégal a la difféience entre les cotes des deux points. Parconséquent, la tangente de 1 angle formé par une droiteavec le plan horizontal est égale à la différence entre les

cotes des deux points connus de cette droite, divisée parla distance qui les sépare.

Si ou demandait de faire passer par un point donnéune droite, faisant avec l’horizon un angle donné, leproblème serait indéterminé, puisque toutes les généra-trices d’un cône ayant pour sommet le point connu, etfaisant avec l’horizon l’angle donné, conviendraient éga-lement. Cependant cette question étant d’un usage fré-quent, nous allons chercher comment on pourrait dé-terminer la cote d’un point d’une telle droite. Imagi-nons sur le point une verticale d’un nombre exact demètres et une horizontale ayant une longueur telle quele rapport entre ces deux longueurs soit égal à la tan-gente de l’angle donné. En joignant les extrémités deces deux droites, nous aurons une des positions de ladroite dans l’espace, et dans son mouvement, elle dé-crira dans l’espace une circonférence qui sera projetéepar une circonférence ayant pour rayon la longueur del’horizontale, et dont tous les points seront propres àdonner la cote demandée.

II. Déterminer le point dintersection de deux droites 3qui se coupent.

Les projections horizontales de ces deux droites de- îvant nécessairement se couper en un point qui est laprojection du point d’intersection dans l’espace, ou dé-terminera la cote de ce point à l’aide des notions pré-cédentes. Si les deux droites étaient dans un môme planvertical, leurs projections horizontales se confondraientet ce moyen ne serait plus praticable. Soient donc A et B( Pl. XXXIII, Jig. 4 ) les deux points de la premièredroite dont les cotes x et |3 sont connues, et C et D le 5points de la seconde dont les cotes sont y et S. Si par le spoints A et B, nous menons des verticales jusqu’à lcui'rencontre en E et F, avec la droite CD, nous pourronsdéterminer les cotes • et » de ces points, et à cause destriangles semblables B'OF et OA'E nous aurons la p 1-0 *portion

EO : OF :: A'E : B'F

EH : HG :: A'E : B'F

d’où

(EH-f HG) ouEG=AB : EH : : A'E+B'F : A'E

a

et si on désigne par x la distance EH=AI et parlongueur AB, on aura

a : x :: (»—^*0 ! *■""*

mais on a aussi

EO :OF :: EH : HG,EG étant une droite horizontale: donc