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On regardera la distance verticale qui sépare deuxcourbes comme la hauteur de l’inclinaison de la tan-gente , et si, à partir du point donné, on porte avec uncompas une longueur égale à la base de cette incli liaison,de manière à ce que son extrémité rencontre la courbesuivante, cette droite sera la projection de la courbedemandée. Cette solution n’est rigoureuse que lorsqu’onsuppose les courbes équi-distantes assez rapprochéespour qu’on puisse supposer que les parties de la surfaceoccupées par la base de la pente soient planes. Pour qu’ellesoit possible il faut que la base de la pente soit au moinségale à la plus courte distance entre deux courbes con-sécutives. Elle a de plus uue infinité de solutions puisquepour chaque point il y aura deux directions qui y satis-feront.

X. Trouver V intersection dune suif ace avec un plandonné.

L’échelle de pente du plan étant déterminée, on mè-nera les horizontales à mêmes cotes que les courbes dela surface, et les points de rencontre avec les courbes ap-partiendront à Tintersection demandée. Il pourra arri-ver, d’après la forme de la surface, qu’on ait plusieurscourbes d’intersection indépendantes les unes desautres. ( Pl. XXXV, fig. 6. )

On pourrait se demander de déterminer l’intersectiond’un cône par un plan. Nous supposerons le cône droit,ayant son axe vertical; alors les courbes équi-distantesqui le déterminent sont des circonférences de cercle con-centriques , et la détermination de la courbe d’intersec-tion ne présente aucune espèce de difficultés. ( PlancheXXXIII, fig. 9.)

XI. Trouver l'intersection de deux surfaces données.

Les points de cette intersection seront évidemmentdonnés par les points de rencontre des courbes ayantmême cote, et ils feront partie d’une ou de plusieurscourbes suivant les formes des surfaces. ( Pl. XXXIII,

fis- 7 -)

XII. Par un point donné sur une su face lui menerunplan tangent.

Ce plan contenant toutes les tangentes menées à la sur-face au point donné, passera par la tangente à la courbehorizontale passant par ce point, et cette droite sera unede ses horizontales. Si maintenant on conçoit par lepoint un plan vertical perpendiculaire à cette horizon-tale, il coupera la surface suivant une courbe dont l’é-lément devra se trouver dans le plan tangent. Mais cettecourbe se projette suivant une droite perpendiculaire àla projection de la courbe horizontale passant par lepoint, et la cote de son extrémité est la même que cellede la courbe horizontale suivante ; par conséquent l’é-chelle de pente du plan demandé est complètement dé-

terminée. Comme ou peut considérer la courbe horizon-tale supérieure à celle passant par le point donné , oucelle qui lui est inférieure, le problème est en généralsusceptible de deux solutions , qui se réduiront à uneseule lorsque les courbes seront infiniment rapprochées,parce qu’alors les deux élémens de la courbe normale seconfondront eu direction et ne donneront qu’une tan-gente. Si 011 conçoit que l’un des deux plans tangenstourne autour de son horizontale de contact, en aban-donnant l’élément de contact, de manière à venir serabattre sur l’autre plan, on aura une infinité de solu-tions limitées par les deux plans primitifs.

XIII. Par une droite donnée mener unplan tangent àune su face donnée.

Au point où ce plan touche la surface, son horizon-tale devra se confondre avec la tangente à la courbe ho-rizontale passant par ce point. Si donc nous marquonssur la droite les pointsayant mômes cotesque les courbeshorizontales delà surface, et que par chacun de cespoints nous menions une tangente ù la courbe avantmême cote que lui, l’une de ces tangentes devra êtrel’horizontale demandée. Mais le plan tangent passantparla droite donnée et par cette tangente, devra conte-nir l’élément de la surface perpendiculaire à la tangenteet passant par le point de contact, et par conséquent aussila tangente à la surface à l’extrémité decet élément ; cettetangente devra donc être parallèle à la première. Par© 1toutes les tangentes menées aux courbes horizontales p arles points de la droite donnée ayant mêmes cotes, cellequi satisfera à la question sera telle que lhorizontaleimmédiatement inférieure ou supérieure, lui sera parai'lèle. Cette solution serait rigoureuse si les courbes étaientinfiniment rapprochées , mais comme elles sont à un®distance finie, il serait impossible de satisfaire à cettecondition du parallélisme , quoique cependant le p r0 'blême fût soluble. On examinera alors les variations del’angle que les tangentes menées aux courbes horizontale*fout avec la droite donnée. Si cctangle, après avoir &&ou diminué d’une manière continue, commence àdécr©treouàcroîtred’unc manière continue, il est évident q u

v aura eu un maximum ou un minimum , et la tang e,lte

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y donnant lieu sera celle qui devra être choisie. Lu

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fet, en rétablissant la continuité de la surface et menatoutes les tangentes par la droite, les variationsl’angle deviendront infiniment petites, et elles nepronl changer de signe sans passer par zéro. Par 0quent dans le voisinage de ce point il y aura deux hozontales parallèles. (Pl. XXXIV, fig. 5 . )

elle-

Si la droite donnée était horizontale, elle serai ^même une des horizontales du plan demandé, et Pconséquent la tangente à la courbe horizontale Psaut par le point de contact de la surface et du P