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12 . Oaobtiendra l’expression générale de la puissancem d’une série indéfinie

On voit cpic la quatrième puissance de cette série estaussi la quatrième puissance de (i—a:)—*. Mais

A„-l-Aia;-l-.Ax l -f-A3X 3 -l-A4a: 4 -l-etc. • • -à l’infini,

en se servant des formules générales de développementdonnées à l’article différentiel et notamment de celle quiporte le nom de Maclaurin . Lorsque le premier termede la série est l’unité, sa puissance a une expressiontrès-simple que nous allons faire connaître. Soit

et, par la formule de Newton ,

etc.

etc,

(i-\-ax-\-bx^-\-cx i -^-e.tc.) m = i-j-Aæ+Bx'+Ca^+etc.

= i +4x-f -1 ox’ -|-2ox 3 -}-35x 4 -l-ctc.

les coefficiens A, B, C, etc., serontA = ma

B = l - 1 ak-\-mb

C = 'ItpaB+^’—bk+mc

D = -=^aC + —~bB + ^f—ck+md4 4 4

//I—4 . 2 m—3 3 m —2

E =• -y- 3 au -|-- —bC -|-$—cB +

-j-

etc. etc.

ce qui est identique avec ce que nous venons de trouverci-dessus et montre l’accord parfait de toutes les lois dela science.

ELGEBAR ( Aslr .) Nom de la belle étoile située aupied d ’ Orion , plus communément appelée Rigel.

ÉLIMINATION (Aslr.). Opération dont le but est defaire disparaître toutes les inconnues, moins une, quise trouvent dans une équation. Pour que cette opérationsoit possible, il faut avoir autaut d’équations indépen-dantes que d’inconnues. Voy. Équation.

i . Soit d’abord les deux équations du premier degréà deux inconnues

Ax-j-Bj'=C

A'x+B>=C'

Appliquons ces formules à la série

et proposous-nous de l’clever à la quatrième puissance.Nous avons m—l\, a= i , b=i , c=i , etc. Les coeffi-ciens A, B, C, etc. deviendront

A = 4

B = 4+4=.o

4—3 , 8—i .

C = —y.io-f- —j— . 4 + 4 = 2 °

D = yp.20+ .ioH-^—.4+4=35

etc. etc.

et nous aurons

( 1 -j-x-f-x’-l-eh:. ù l’iufini) 4 =i -t-4-' c 4" 1 ox , -f-20X - 3 -f-35x 4

-f-etc... .à l’infini.

En remarquant que la série proposée n’est autre choseque le développement de la puissance —1 du binôme( 1 — x ), car ou trouvepar le binôme de Newton

(1 — x) -, =i +x+x'-he 3 4-x , -j-x’ i 4-cte.

Le premier procédé qui se présente naturellement c’estde résoudre chacune de ces équations par rapport a X>comme si y était une quantité connue j la premièi' edonne

x =

C—§rÀ

et la seconde

x =

C’-B>

A’

Or, ces deux valeurs de x devant être identiques, 00en conclut

C-By _ C'—BÿA ~ A’

équation qui ne contient plus quey , et que l’on non» 0 * 6Yéquation finale. ^

En résolvant l’équation finale on obtient la valcuiy et il suffit ensuite de substituer cette valeur dans 1 u ' 3ou l’autre des deux équations proposées pour obt e ° l ^une équation qui ne contient plus d’autre inconnue <1 ^x et qui puisse servir conséquemment à la détermin® 41complète de cette inconnue.

2 . Si les coefficiens de l’une des inconnues étaient^

mêmes dans les deux équations, il est évident q u