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filait de retrancher l’une de ces équations de l’autre pourobtenir immédiatement l’équation finale. Par exemple,étant données les deux équations
Ax-\-By=C
Ax-\-~Dy==Et
«n retranchant la première de la seconde, on aurait
Ax-\-By — Ax — Dy—C —Eou
équation débarrassée de x. Or, on peut toujours rendree gaux les coefficiens de la même inconnue, car, en pre-nant pour exemple les deux premières équations
AB'a:+BB>=CB'
A'Bx+B’Bjk=C'B
et, en retranchant,
(AB'—A'B>r=CB'—C'B
ce qui donne immédiatement pour x
CB'—CB^A’B—AB'
ou, ce qui est la même chose, en changeant les signesdes deux termes de la fraction ce qui n’en change pasla valeur,
C'B—CB'
X ~ AB—A'B
A x+By—CA'x+B'y=G
*i l’ou multiplie tous les termes de la première par A'®t tous ceux de la seconde par A, A et A' étant les coef-frciens de l’inconnue qu’on veut faire disparaître, cesQuations deviendront
A'Ax+A'By=A'G
AA'x+AB>=AC'.
c est à-dire que les coefficiens de a: seront les mêmesPuisqu’ils sont composés du produit des mêmes facteurs.Opérant la soustraction, nous obtiendrons
(A’B—AB>=A'C—AC',
Quation finale en y , qui donne
A'C—AC'y ~ A'B—AB'
Pour trouver la valeur de l’autre inconnue x , substi-*uant cette valeur de y dans la première des équationsProposées, nous aurons
même valeur que ci-dessus.
3 . On agirait d’une manière analogue pour un plusgrand nombre d’équations et d’inconnues. Par exemple,soient les trois équations
1.. . Ax -\-By -|-Cz =D
2.. . A'x-\-B'y -]-C'z =D'
3.. . A'*+B>+C'z=D'
En éliminant x entre i et 2 parle procédé ci-dessus,c’est-à-dire en multipliant i par A', et 2 par A, et pre-nant la différence des produits , on formera l’équation.
4 .. . (A'B—AB'\p-|-(A'C—AC')s=
= A'D—AD
débarrassée de x. Eliminant ensuite de la même ma-nière x entre 2 et 3 , on formera une seconde équationsans x
5 .. . (A"B'—A 'B")y-\- (A”C—A'C")z =
= A"D'—A'D"
Éliminant enfin y entre 4 et 5 , on trouvera pour l’é-quation finale en z
. u A’C—AC' „
Ax+B -ir5C--Âir= c
* *l u * nous donnera
C—B.
x ==
A'C—AC'A'B—AB'
et
en déduisant
C'B—CB': A 'B^ÂB'
Si
e U X
n ovait voulu trouver d’abord l’équation
fina 1
'** x , on aurait multiplié la première des équations prPosées par B’ et la seconde par B, on aurait obtenu
[(A'C—AC')(A"B'—A’B")—(A"C'—A'C"J(A'B—AB')]z=(A'D—AD')(A"B'—A'B")—(A"])'—A'D")(A'B—AB')
et, par conséquent, pour la valeur de z
(A'D—AD') (A "B'~ A'B")—f A "D'~ A'D")(A 'B - Alt'):_ (A'C^ÂC')(A"B'—A’B"j—tA"C —aV;(A'B~AB )
substituant cette valeur de z dans 1 et 2, on obtieudiades équations en a: et y qui fourniront par l’éliminationde x une équation finale en y, d’où l’on tirera la valeuid cy; et, enfin, substituantdans 1, ou 2, ou 3 , arbitraire-ment, les valeurs trouvées de y et de z, on aura uneéquation finale en x , qui fera connaître la valeur decette dernière inconnue.