En opérant de la même manière j il est visible cpiequel que soit le nombre des équations et des inconnues,on arrivera à former l’cquation finale pour chaque in-connue.

4. En examinant la forme symétrique des équationsfinales , on voit qu’il suffit de connaître la forme géné-rale de la valeur d’une des inconnues pour trouvercelles des aut>es inconnues, mais la résolution des équa-tions n’est point ici notre objet, et cette question seratraitéeenson lieu. Considérons maintenant les équationsdes degrés supérieurs.

A, B, C, D, etc. A', B', C', D' etc. représentant desfonctions quelconques de la variable x, soient les deuxéquations à deux inconnues d’un degré quelconque

o=A -j-B y -f-Çy J -j-Dy 3 -|-Ej"‘ -(-etc....o=A’-)-B' - /-l-C> 2 -l-D>' 3 -f-E >4_(_et(.

proposons-nous d’obtenir l’équation finale entièrementdébarrassée dey.

5. Si l’une des équations, la première par exemple,ne s’élève qu’au premier degré, le problème ne présenteaucune difficulté, car de

o=A-j-Bt'

on tire y = — et substituant cette valeur dans la

seconde, à la place dey , on obtient une équation seu-lement en x.

6 . Lorsqu’une des équations s'élève an second degré,l’autre étant d’un degré quelconque , la question com-mence à se compliquer. Donnons à l’équation da seconddegré la forme particulière

Y 2 =a-\-by

cequin’en diminue pas la généralité, et il ni ms de-viendra alors toujours possible de donner à toute autrepuissance dey la forme d’un binôme telle que P-f-Qj'.En effet, de

f‘=a+by

on tire, en multipliant les deux membres pàey,yi^zay+by'

et, remettant à la place de y* sa valeur a-\-by, on ay î =ab-\-[bb+a)y

Multipliant cette dernière égalité par y, on trouvey*=aby -\-[bb-\-a]y %

et, remettant à la place de y* sa valeur a-\-by , on a

encore

y*=(ab*-\-a , ')-\-(P-\-‘îab J Y

Continuant de la môme manière, on voit qu’il est tou-jours possible de donner à la puissance générale^", laforme d’un binôme P-f-Qr» dont les coefficicns serontdes fonctions rationnelles et entières de a et de b.

7 - En examinant la formation successive des puis-sances^ 3 , y*,y 5 , etc., et leur mode uniforme de géné-ration, on trouvera la ioi suivante :

La seconde puissance y* étant égale h a-\-by, touteautre puissance m de la même variable, pourra êtrereprésentée sous la forme d’un binôme P -|- Qy, lesquantités P et Q étant

P = «J— aibm -e +

1 1 i. a 1

(m—5)(m-6 ) (m- 7 )

' 1 . a. 3

-f etc.

Q ,_ .1 m — 2 7 1 1 — 3 )(7/1—4) , t

—- ab m ----zi a*b m ~ 5

1.3

5 + ..

. (m —4)( M —5) (m—t 5)

+ -—" 77^73 - L a 3 b m -7+ e tc ...

8 . Ayant formé d’après cette loi toutes les expressionsbinomiales des puissances dey, si on les substitue dansla seconde équation proposée

J

0 =A+Bj'-f- Çy’+D^+Ej^-f-etc....on pourra lui donner aussi la forme d’un binômeo=M+Ny

et éliminant^ entre cette troisième équation, et lapr e "mière on obtiendra une équation finale

M’=aN a —£>MN

entièrement débarrassée de y.

Cet ingénieux procédé d’élimination est dû à Kramp'Quoique l’une des deux équations ne doive pas s ul 'passer le second degré , il suffit aux bcsoinsde la science-O 11 peut l’appliquer au cas de trois équations et detr£» sinconnues.

9 . Comme on emploie ordinairement dans les trait° s

d’algèbre consacrés à l’instruction publique, la inéth 0 ^ 0

du plus grand commun-diviseur pour former l’équati 011

finale , nous ne croyons pas nécessaire de l’exposer lCl ’

elle demande d’ailleurs des détails dans lesquels il 1,011

serait impossible d’entrer. ^

L’élimination a été l’objet des travaux despl us B ran ,J , lien? 1

mathématiciens. Cramer, dans son Analyse (tes 0

courbes, Bezoul, dans sa Théorie générale des cquad°