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^andcrmonde et La Place, dans les Mémoires de l’Aca-démie pour 1772, ont traité avec plus ou moins de gé-néralité cette partie importante de la théorie des équa-hons qui est en outre redevable à Euler d’un procédés 'iuple et élégant.

ELLIPSE ( Géom .). Une des sections coniques. Ellee? t engendrée par un plan qui coupe obliquement uncône droit de manière à ne pouvoir rencontrer la basedu cône que prolongée hors de ce solide. Telle est lacourbe EQDFLE (Pl. XXI, Jig. 8), formée par l’inter-section ducôneBCAet du plan mené selon la droiteED qui rencontre en F, hors du cône, le plan de labase AB.

Pour déterminer les propriétés de cette courbe, nousconsidérerons dans le plan générateur; et nous cher-cherons son équation en prenant pour axe des abscissesla droite AB, section du plan qui coupe le cône par unautre plan MCN mené par l’axe du cône, et conséquem-ment perpendiculaire à sa base. On nomme ce dernierplan principal. Nous supposerons dans ce qui va suivre

Sue le plan coupant est perpendiculaire au plan princi-pal.

c

Par un point O quelconque de l’axe AB concevons unplan parallèle à celui delà base du cône, sa section aveclu cône sera un cerclé EI 1 FG (voy. Cône, n° 1). La sec-’iou de ce nouveau plan par le plan principal sera lediamètre,EF et sa section par le plan coupant la droite, perpendiculaire à EF. Menons par les points Ael B, dans le plan principal, les droites AK et BI paral-lèles au diamètre FE.

En prenant le point A pour sommet de l’axe des ab-scisses, désignons AO par x et l’ordonnée OII par^;disons de plus

AB=a«, Ajv=i?, BI=c

posé, si nous considérons OH dans le cercle FHEGFCou * aurons par la propriété du cercle (voy. Cercle,

n° 18)

ÜH*=rVOXOE, ouj*=FOXOE

mais les triangles semblables BAI et OAE donnent

AB ; AO :: BI : OEou

2 a: x :: c : OE

de même les triangles semblables ABK et OBF don-nent

ABsOBs: AK:FO

ou 1

a a: (2 a — x) :: d : FO

Tirant de ces proportions les valeurs deOE et de FO,savoir ;

OE= —, FO=*f=?>

la la

et les substituant dans celle de OH ou de nous auronspour l’équation de l’ellipse rapportée à l’axe AB, l’ex-pression

Il suit de cette équation plusieurs particularités re-marquables que nous allons d’abord examiner.

1. En prenant la racine carrée des deux membres decette égalité, on a

y = rfc ~\/ cd(iax — X*)

ce qui nous apprend d’abord qu’à chaque valeur de xcorrespondent deux valeurs dey égales et de s gne con-traire; d’où il suit que l’axe AB partage l’ellipse en deuxparties égales. »

La grandeur de,y dépendant de celle du facteur va-riable 2 ax — X' , examinons ce qui arrive à ce facteurlorsqu’on fait croître x, en partant de x=o. Ce facteurétant la même chose que

(2a— x).x

on voit qu’il s’évanouit en faisanta?=2a et qu au-dessusde cette valeur de x il devient négatif, ce qui rend leradical imaginaire et indique par conséquent que lacourbe sc termine au point x = 2a,^=0, comme ellecommence au point x=o , ^=0. Ainsi en partant dex=o, hs valeurs dej' commencent à croître et aprèsavoir atteint une certaine limite elles commencent à dé-croître pour revenir à o lorsque x=ia. La grandeurmaximum de y correspond donc au cas où la valeurde x est telle que le facteur (2 a — x)x est lui-même le