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plus grand possible, ce qui arrive évidemment quandon fait x=a , car il devient alors a 1 j tandis qu’en don-nant à x une valeur quelconque plus grande ou plus pe-tite que a, adzm, par exemple, il devient

ia —(«±7»)j (a±m)=a 1 — Tri 1 ,

quantité plus petite que a 1 . Ainsi l’ordonnée qui passepar le milieu de l’axe est la plus grande de toutes. Sa! valeur est

J —— —. \/cd^ia 1 —a 1 ) =±.\\/cd

2.On voit aisément, d’après ce qui précède, que ladroite menée perpendiculairement à l’axe AB par sonmilieu, partage aussi l’ellipse en deux parties égales.Cette propriété lui a fait donner le nom de petit axe ,tandis qu’on a donné celui de grand axe à l’axe AB.Or, si nous désignons par 2 b la grandeur de ce petit axe,nous aurons

_ cd

b — \\/cd, ou b 1 = -j-‘

Substituant cette valeur dans l’équation de l’ellipse,nous la dégagerons des quantités auxiliaires c et d et elledeviendra (t)

b 1 ,

y x = —.(2 ax — x 1 )

b étant plus petit que a $ — est une fraction : ainsi y*

est plus petit que le produit ( ia — x)x j c’est-à-dire quedans l’ellipse le carre de l’ordonnée est toujours pluspetit que le rectangle formé entre les deux parties cor-respondantes du grand axe. C’est cette,propriété qui afait donner le nom d 'ellipse à cette courbe, d’iAAMi^r,defaut , parce que dans le cercle le carré de l’ordonnéeest précisément égal au rectangle formé entre les deuxparties du diamètre.

3. Si au lieu de prendre l’nne des extrémités dugrand axe pour origine des abscisses, on prend le pointde rencontre des deux axes, pointquel’on nomme aussile centre de la courbe, la relation entre ces nouvellesabscisses, désignées par x’ , et les précédentes sera évi-demment x'=x — a , d’où x—x'-\-a en substituant celtevaleur dans l’équation ( i j elle deviendra

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Telle est l’équation de l’ellipse rapportée à ses deuxaxes.

4- En comparant les équations (i)et(2) avec les équa-tions du cercle.

1 . y x =irx — x 1

2 . y x = r 1 — x 1

dont la première est rapportée à l’extrémité du diamètreet la seconde au centre {foy. Application, n° 34 ), onvoit qu’il existe une grande analogie entre l’ellipse et lecercle ou que le cercle n’est qu’une ellipse dont les deuxaxes sont égaux, puisque, lorsque b=a, les deux équa-tions (1) et (2) se réduisent à 1 et 2.

Cette circonstance qui fait du cercle un cas particulierde l’ellipse doit nous faire rechercher si les propriétésconnues du cercle existent pour l’ellipse, ou du moinscommentelles sont modifiées en passant de l’une à l’antrefigure.

Or , dans un cercle toutes les cordes qui passent parle centre sont partagées au centre en deux parties égaleset de plus sont toutes égales entre elles, voyous d’abordce qui a lieu dans l’ellipse pour les droites qui passentpar le centre et se terminent de part et d’autre au péri-

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mètre. Soit donc MN une telle droite, en prenant ^pour origine des coordonnées, son équation sera (vof eiApplication II, n° 9)

y=mx

m étant la tangente trigonométrique de l’angleLes points M cl N appartenant à l’ellipse, on aura a u5Slpour les coordonnées de ces points la relation

y * = ^ («’—*■)

b*.

y' = f^ a '~ x ')

OU, en changeant x' en x (2),b\

r' =

et, par conséquent,

m’x 1 ^ — (a 1 — x 1 )a 1 '

d’où

x = dn

ab

X-'a’m' + h 1