52o

EL

EL

cette valeur substituée dans y=mx, donne

, abm

y = ±-—-

\Za % in*-\-b*

les valeurs positives de x et de y seront les coordon-nes 0« et zzN du point N, et les valeurs négatives,c elles du point M , savoir Om et wzM ; et comme ces va-leurs sont égales, indépendamment du signe, on a

0nz=0/z et //zM=nN.

Ainsi les triangles rectangles MmO et N/zO sont égauxet l’on a MO=ON. Donc toute droite menée par le centres e trouve partagée à ce point en deux parties égales : ceS u i est exactement la propriété du cercle.

Le triangle ON/z, nous donne

ÔN’=0 n’ + ÏÏnou

ON* = a : 1 + y 1

Su bstituant à la place de sa valeur prise dans l’équa-tlo n de l’ellipse , cette dernière égalité deviént

ON*—

Ce qu’on peut mettre sous la forme

m’= c ~-- x '+ b '

Il résulte de cette égalité que la valeur de ON et con-Se quemment celle de MN est variable et dépend de lagrandeur de x. On aura donc la valeur de la plus petitebgne qui passe par le centre en faisant x—o et la valeurde la plus grande en faisant *=«, puisque telles sontles deux limites de l’abscisse. Or , lorsque x = o, ontrouve

pnétés les pius remarquables de l’ellipse; c’est que lasomme de leurs distances à un point quelconque de la

a

courbe est une quantité constante, égale au grand axe.En effet, soit un point quelconque m dont l’abscissex=On et l'ordonnée^—/»», ses distances à F et/serontles droites nzF et mf dont les valeurs, comme hvpothénuses des triangles rectangles fmn et mnF, sont (a)

nzF =F n + mnmf —fn * + ~mn

mais

fn =y0+0 n =JO+x ,et

F«=OF—Otz=OF —x ;

de plus, par construction ,fO = OF , et l’on a dans letriangle rectangle fCO

Jô'= je-œ‘

ou

JO' = a» —

Ainsi, en substituant, les égalités (a) deviennent à cause

_ M

demn —y *,

ON*=i*

et lorsque x=a

"ON =

c es t-à-dire que le petit axe est la plus courte de toutesles droites qui passent par le centre de l’ellipse et que legrand axe est la plus longue.

Qn nomme diamètre toute droite qui, passant au centred une ellipse, se termine de part et d’autre a son péti-mètre.

Si de l’extrémité du petit axe CD avec un rayont- g a l a la moitié du grand axe on décrit deux arcs deCei cle qui coupent le grand axe en deux pointsyet b ,Ccs Points, ainsi déterminés, présenteront une des pro-

_. ,__ b' ,

nzF = {y a'—b' — a?’)* -f. — (a 1 —a: 1 )

mf ~ + ~ {a'—x')

développant les carrés et réduisant, nous aurons

-• a i — ').a'x\/ a *—— b')x*

(a*— x.\/a 7 — b’ 1 )’ 1~ a*

p-» _ « 4 + 2a , x\/a 1 —b 1 -\-(a* — b l ]x*/ — —

(a 1 + xy/a*— b*)*