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Soit m le point où il s’agit de mener la tangepte, desfoyers f et F, menons les droites//», F m, et prolongeons

d’une quantité md—Fm. Joignons les points F et dl >ar une droite Fd, et du point g, milieu de cette droite,nie nons gm, ce sera la tangente demandée. En effet,Ce Ue droite ne peut avoir que le seul point m , communaV(îc la courbe, car pour tout autre point n , en menantf' l i nd et n¥ , on a fn-\-ndffd, ou , à cause de F n=nd,1n +i" ri>fd- or, par construction fd est égal au grandaXe > donc la somme des distances fri et F« du point na ' lx foyers est plus grande que le grand axe, et consé-'L’eninient le point n est en-dehors de la courbe.

11 résulte immédiatement de cette construction que<s a >’gles formés par la tangente et les deux rayonsec leurs menés au point de contact sont égaux ; car lelan gle d/nF étant isocèle (t ’oy. ce mot) et mg passantP a > le milieu de la base, on a l’angle c?/»g=l’angle F///g';aia is ding=ui/f comme opposés parle sommet, donclll g-=nmf.

^'nsi, la lumièrese réfléchissant en faisant un angleréflexion égal à l’angle d’incidence ( voy. Catoptri-^ E )> si de l’un des foyers de l’ellipse partent des rayonslumière qui tombent sur la surface intérieure d’untiroir formé par la révolution de cette ellipse autourd e son grand axe, ces rayons seront tous réfléchis versautre foyer. C’est cette propriété qui a fait donner le150,11 de foyers aux points F et /.

>o. On nomme diamètres conjugues, deux diamèticsdont l’un est p.n allèle à la tangente menée à l’extremitede l’autre. On reconnaît facilement que toutes les cordes^nées dans l’ellipse parallèlement à un diamètresont

dupées en deux parties égales par son conjugue . Ldeux axes forment un système de diamètres conjugue.

En prenant deux diamètres conjugués pour a«Ucisses et des ordonnées, les coordonnées devienuenCliques, mais les équations ne changent pas de ^

Woy . Transformation des coordonnées.) O ^

encore i« que le parallélogramme circonscrit a e ipet formé par les tangentes menées aux extiémi

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paire de diamètres conjugués est égale au rectangleconstruit entre le grand et le petit axe ; 2 9 que la sommedes carrés de deux diamètres conjugués est égale à lasomme des carrés des deux axes.

11 . Si l’ou décrit un cercle sur le grand axe d’une el-lipse (Pt. XIX, fig. io), le rapport des ordonnées IMde l’ellipse et Im du cercle, correspondantes à la mêmeabscisse CI sera égal à celui des axes de l’ellipse. Eneffet, en comptant les abscisses du centre, l’équation del’ellipse est

et celle du cercle décrit sur la, comme diamètre, estr* = a* — x % ,

désignant donc par j3 la valeur de l’ordonnée de l’el-lipse correspondante à l’abscisse a, et par y la valeur del’ordonnée du cercle correspondant à la même abscisse,nous au ions

y 3 = a 2 —a 1 ,

et par conséquent

S 1 fc? S 6— = —- ou - = -

/* a* y a

On conclut aisément de cette propriété que la sur-face de l’ellipse est à celle du cercle décrit sur son grandaxa comme le petit axe est au grand axe. Ainsi a’ir re-présentant la surface du cercle dont a est le rayon (voy.Cercle, n°3i), la surface de l’ellipse qui a la pourgrand axe et ib pour petit axe, sera

b ,

- x a*n = abita

le nombre t étant 3,i4i5gs6.... etc. (Voyez Quadra-ture).

ia. La surface du cercle décrit sur le demi petit axede l’ellipse comme diamètre étant b' ir, en comparantles trois quantités b^it, abn, a^ie, on voit aisément qu’ona la proportion

i*jr : abiz :: abzz : aV,

c’est-à-dire que la surface de l’ellipse est moyenne pro-portionnelle entre les surfaces des cercles décrits sur sesdeux axes.

i3. Au lieu de rapporter l’ellipse à des coordonnéesrectangulaires ou à des coordonnées parallèles , on peutencore considérer sqi» équation par rapport à l’angle