536

EP

EP

inutile la considération des cpirycles dont l’invention conque ACD , ii touche le cercle fixe en D, et en pre»toutefois est des plus ingénieuses. Voy. Révolution. nant l’arc DC=BD, le point C sera le point de la courbe

ÉPICYCLOIDE (Gëom.) (de ta - *, sur, et xvxXcs ,cercle). Courbe décrite par un point d’une circonfé-rence de cercle roulant sur une autre circonférence.Lorsque les deux cercles sont dans un môme plan, l’é-picycloïde est plane ; lorsqu’ils sont dans des plans dif-férens l’épicycloïde est sphérique.

Occupons-nous d’abord des épicvcloïdes planes etsupposons que l’épicycloïdc soit extérieure, c’est-à-direque le cercle mobile soit tangent extérieurement aucercle fixe. Soit A (Pl. XXXII, fig. 1) le centre ducercle fixe dont AB est le rayon. Le rayon du cercle mo-bile est Ba. C’est le point de contact des deux cercles dansleur première position. Lorsque le cercle mobile arriveen BPD , le point C de ce cercle s’est transporté en P,de manière que l’arc BP=:BC , et cette condition suffitpour déterminer tous les points de l’épicycloïde décriteparle point C.

Pendant que le cercle mobile roule sur le cercle fixe,son centre décrit une circonférence dont le centre est enA et dont le rayon égale AB-|-Brt. La première positionde ce centre est en a'. Si on augmente ou si on diminuele rayon C a' du cercle mobile d’une quantité CO ouCO', les points O et O’, mobiles avec le rayon C a', dé-criront des courbes dont la première a reçu le nom d’é-picycloïde ralongée, et la seconde d’épicycloïde racour-cie. Soit AP l’une des positions du rayon du cercle mo-bile, en portant sur cette droite la longueur Pp=CO ,et P p = CO', le point p appartiendra à l’épicycloïderalongée, et le point p' à l’épicycloïde racourcie.

On se propose de déterminer au point P la tangenteà l’épicvcloïde. Le point P tend à décrire un cercle dontle point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile,correspondant au point P, est le centre; par conséquentBP est normale à l’épicycloïde, et partant la droite PDest la tangente demandée. Les normales aux épicycloïdcsralongécs et racoureies au points p et p' concourent aussiau point B, ce qui donne le moyen de déterminer leurtangente.

Si le cercle mobile était tangent intérieurement au cerclefixe, l’épicycloïde décrite serait intérieure, et on en déter-minerait les points d’après la condition que les arcs par-courus dans le môme temps sont égaux dans l’un etl’autre cercle. Dans le cas où le cercle mobile a pourdiamètre le rayon du cercle fixe, l’épicycloïdc devientune ligne droite, qui est le rayon du cercle fixe passantpar le point où il est touché par le cercle mobile consi-déré dans sa première position. Soit eu effet B le pointoù le cercle mobile AEBF touche le cercle fixe GIBHdans sa première position. Dans une autre position quel-

T

décrite. Or, ce point C est nécessairement sur le rayonAB. Supposons en effet qu’il puisse êtic en C' hors durayon AB. L’angle BAD a pour mesure l’arc BD ou lamoitié de l’arc CD; or, cet arc CD est décrit d’un rayonmoitié de celui avec lequel est décrit l’arc BD , doncces deux arcs sont égaux. Mais nous avons supposé quel’arc DC' était égal à l’arc BD, donc les deux arcs DC etDC' sont égaux, ce qui serait absurde si le point C ne seconfondait pas avec le point C. Comme il en sera demôme pour toute autre position du cercle mobile, il suitque la ligne décrite est la droite AB.

Imaginons que deux cônes droits ayant mêmesommet et étant tangents, sont coupés par une sphèreayant pour centre le sommet commun. Ils auront pourbase sur cette sphère deux cercles dont les plans ferontentre eux le môme angle que les axes des cônes ; et si onconçoit que l’un de ces cônes roule sur l’autre, sans ces-ser de lui être tangent, un point quelconque delà basedu cône mobile décrira dans l’espace une courbe q ulporte le nom d’épicycloïde sphérique. Elle est en effettracée sur une sphère ayant pour rayon la distance con-rstante du point générateur au sommet commun des deuxcônes.

Le rapport connu de la circonférence à son rayon dé-terminera les longueurs absolues des circonférences ducercle fixe et du cercle dont l’un des points décrit l’ép 1 'cycloïde. Divisant donc la longueur de la circonférencemobile eu un certain nombre de parties égales , chaq uepartie correspondra à une partie égale sur le cercle fi* c ‘Considérant le cercle mobile dans la première position*on abaissera de chacun de ses points deux perpendic u 'laires, l’une sur sa tangente commune avec le cerd efixe, l’autre sur son diamètre perpendiculaire à cett etangente. Lorsque le point de contact changera, la tangente commune et le diamètre qui lui est perp cndiculairechangeront aussi de position , et deviendront des a*® 5mobiles dont la position sera connue à chaque instan 1Les projections des deux perpendiculaires abaissccsd upoint du cercle mobile sur ces axes se couperont en

point qui appartiendra à la projection de l’épicy 1

doiàe-