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Au lieu de considérer chaque point du cercle mobilecommcl’intersection de deux coordonnées rectangulaires,°n pourrait les considérer comme l’intersection de l’unede ces coordonnées et d’un rayon du cercle mobile, alorsce serait la projection de ces deux droites qui détermi-n erait un point de l’épicycloïde.

Soient AaB (Pl. XXXII, fig. i)le cercle fixe, aa' l’arcde cercle égal en longueur à la demi-circonférence aRSdu cercle mobile niMn, l’angle du plan des deux cerclesMesuré dans un plan Mm perpendiculaire à leur intersec-hon aM. Avant divisé la circonférence du cercle mobileCn parties égales,soit L' un des points de division duquel°U abaisse la perpendiculaire L'« sur le diamètre aS quic °rrespond au point de contact a des deux cercles ; soit a' LUn arc du cercle fixe égal en longueur à l’arc aL'. Lorsqueles deux points L et L' se confondront, les coordonnéesdu point a , par rapport au rayon xL' seront égales auxc °Ordonnées L ’it et ua du point L' , par rapport aura Yon ax. C’est à l’aide de ces considérations que nousa Hons construire le point L" de la projection de l’épi-c ydoïde sphérique. Le centre x du cercle mobile et leP°int L' de ce cercle se projettent sur la droite Mu duPlan niMn en des points p' et A tels qu’on a Mj3'=ax etSur le plan du cercle fixe ils se projettent en* e l en A. Si maintenant on prend Lx";=a> et X"L"=/A,I e point L" sera le point cherché. On peut construire cePoint de plusieurs manières , car les droites AA et AL's °nt les rayons d’un même cercle, et le triangle rectangleest égal au triangle rectangle L>"L".

En même temps que le point a du cerclemobile décrit’joe épicycloïde sphérique, tous les points de son planC1 'ivent d’autres courbes, qui sont des épicycloïdeslongées ou racourcies suivant qu’elles sont en dehors°n en dedans du cercle aRS.

Cherchons maintenant comment nous pourrons me-tlei 'une tangente en un point déterminé de l’épicycloïdes Phérique; au point I par exemple. BI" est la position’lo cercle mobile lorsque le point I" de ce cercle gêné-la teur de l’épicycloïde se projette en I. Le point dec °ntact des deux cercles est en B ; et si par ce point etP ai les centres des deux cercles, on conçoitun plan ver-^ a A.BV, l’angle r/BV sera égal à celui des plans desUx cercles. La verticale AO' et la droite OO' perpen-u a,l e su r le milieu du diamètre Br/ du cercle mobile,e ncontrent en un point O', centre de la sphère du7«n O B sur laquelle est tracée l’épicycloïde sphéri-Po^ ^ su * 1 ' ^ Ue tan 8 enle a cette courbe, en un

O'R c l Ue ^ c °nque, est dans le plan tangent à la sphèrequi correspond au même point. Mais ce point I", gé-Un CUr ^‘cydoïde > en passant de cette position à^ Position infiniment voisine, ne quitte pas la sphèrele centre est en B, et le rayon BI"; par conséquent

le plan tangent à cette sphère contient encore la tan-gente à l’épicycloïde au point 1". Cette tangente est doncl’intersection de deux plans tangens à deux sphères dontles centres et les rayons sont connus. Le plan tangent àla dernière sphère est perpendiculaire au rayon BI", ouau rayon BD (le cercle BDr/ étant le cercle mobile ra-battu autour de son diamètre). Ce plan tangent a doncpour traces la droite Dr/ et la droite Hr/V perpendicu-laire à Br/; par conséquent la tangente à l’épicychÿdesphérique rencontre la droite Hr/V qui est la perpendi-culaire au plan du cercle mobile mené par l’extrémité dde son diamètre B</ passant par son point de contact Bavec le cercle fixe.

Puisque cette tangente est dans le plan tangent à lasphère dont le centre est O', et dont le rayon est O'B ,et qu’elle rencontre la droite HV, elle passe par l’inter-section de cette droite et du plan tangent. Tous lesplans tangens à la sphère suivant le petit cercle BDrZfont le même angle avec le plan de ce cercle; mais leplan tangent en B fait avec le plan du cercle l’angler/BJ, BJ étant perpendiculaire à O'B; déplus, la droiteé/E perpendiculaire à la tangente DE au cercle mobileau point D est égale à DF ou l 'd: si donc on mène I’Gparallèle à BJ, le point G appartiendra à la tangente àl’épicycloïde sphérique au point I". Projetant le pointG en G', la droite G'I sera la tangente demandée.

L’invention des épicycloïdes est attribuée au célèbreastronome danois Roemer, auquel on doit la décou-verte du mouvement de la lumière. Ces courbes, quifurent l’objet d’un traité particulier publié par la Hire,en i6g4, occupèrent les plus grands géomètres; Newton,Jean Bernouilli, Halley, Maupertuis, Nicole et Clai-rault ont successivement examiné leurs propriétés prin-cipales. Voy. les Mémoires de V Académie des sciences ,pour 1706, 1727 et 1732, et les transactions philoso-phiques, n° 218.

EPOQUE. Terme usité en chronologie pour fixer unpoint de départ dans la succession des temps, d’où lesannées sont ensuite comptées. Les diverses nations fontusage de différentes époques. Les Chrétiens comptentles années à partir de la naissance ou de l’incarnationde Jésus-Christ; les Maliométans, de l’époque de l’Hé-gire ou de la fuite de Mahomet ; les Juifs, des époqueshypothétiques de la création du monde et du délugeuniversel; les anciens Grecs les comptaient de la premièreolympiade; les Romains, delafondation de Rome ; et lesPersans et les Assyriens de l’époque de Nabonassar, etc.

Trouver la concordance des années de deux époquesdifférentes, ou quelle année d’une époque corresponda 1 année donnée d’une autre époque, forme l’un desproblèmes les plus importans de la chronologie ; on lerésout facilement en rapportant toutes les époques con-

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