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EQ

On en conclura que les valeurs des Inconnues sont in-déterminées et que des deux équations, dont on est parti,l’une n’est qu’une transformation de l’autre. En effet,5 * nous examinons les proposées

3x— 2 y-|- 5=o6y—9 X —!5=°

Nous verrons facilement qu’on obtient la seconde, enMultipliant la première par le facteur —3.

Exemple 4 e . Soient les équations proposées

2x-f-3 y— 5=o4x-f-6y—t5=o

Nous avons, en comparant avec (d) et (e)

A =2 , B =3 , C = 5A'=4,B'=6,C'=i5

EQ

Mais alors à cause de A'B—AB'=o, on conclurait,comme ci-dessus (exemple 3 e ) A'C—AC' = o, et il résuiterait de ces égalités les valeurs

d’

où

X-

45—3o i5

12—12 O

20—3o 10

y=

I 2— 12

O

'Valeurs infiniment grandes. Voy. Division, n. 22.

Pour que de semblables valeurs soient données parexpressions générales (d ), il faut qu’on ait

A'B—AB'=o

Or

. > cette égalité donne

A'-i v - B :' B

® u ljstituant cette valeur de A' dans l’équationA'x-j-B'y—C'=o

Uous

■lurons

AB'a>|-BBy—B'C=o

Ain ’

s >, pour que les deux expressions 1 et 2 ne soient1 COn tradictoires, les premiers ternies étant identiques,

1 —■“"-‘■'“res, ics pr

faudrait que l’on eût

_o o

x— - , y= -

-J-. *+ By-C'=o

* en Multipliant par B,

1 .AB'x-J-BB'y—BC'=o

^ r > en multiplant par B', l’équation A.x-j-B y —C=o,° n aurait

BC'=B'C ou BC'— B'C=o

résultats qui ne sont pas ceux qu’on a obtenus. On nepeut donc avoir BC'=B’C, et la condition isolée

A'B—AB'=o

indique que les deux équations dont on est parti sontcontradictoires.

En effet, multipliant la première équation par 2 , elledonne

4 -r-f- 6 y=io

tandis que la seconde donne

4x-}-6y=i5

égalités qui ne peuvent être satisfaites en même tempspar aucunes valeurs finies de x et dey.

Les résultats généraux x = y = désignent

donc une contradiction dans les équations proposées, ouune impossibilité d’assigner aux inconnues des valeursfinies.Cependant cette Contradiction n’est que relative ,car dans le problème que nous examinons, nous trou-vons les valeurs infinies x= c» ,y= — 00 qui résolventcomplètement la question, et il est important de distin-guer l’impossibilité relative de l’impossibilité absolue ,c’est-à-dire de celle dont les conditions ne peuvent êtreremplies, ni réellement, ni idéalement. Par exemple,si un problème fournissait à la fois les trois équations

o.x-\-y —3=o4*4 27 — 9=0

1 5= r

• • 6

des deux premières On tirerait y = et des deux se-

condes , y— — , résultat absurde qui montre évidem-ment que le problème ne peut avoir aucune espece desolution.

11 . Nousavonsvu, Elimination, n° 3, quelorsqu’ona trois équations à trois inconnues

1 .. . Ax 4- By 4- Cz — D = o2 . •. A jr-j-By-j-C'z —D'^ra

3.. . A".c4-B>-|-C" Z —D’-c,

en éliminant x d’abord entre 1 et a et ensuite entra 9 et