--JÏ

SU EQ

3 , on parvenait à deux équations à deux inconnues, yet z , à l’aide desquelles, par l’élimination d ey, on trou-vait l’équation finale en z.

£(A'C — AC')(A"B' — A'B") — (A"C'—A'C")(A'B—AB')j z

=(A'D—AD')(A"B'—A'B")—(A"D'—A'D")(A'B—AB')

et, par suite, pour la valeur de z

_(A'D—AD')(A"B’—A'B")—(A"D'—A'D")(A'B—AB')

Z ~(A'C— AC') (A"B'—A'B")—(A"C'—A'C")(A'B—AB')

expression qui devient, en développant les produits,

_AB'D"—AD'B"-|- DA'B"—BA'D''-f-BD' A''—DB'A"

Z ~ AB'C"—AC'B'+CA'B''—BiVC+BC'A"—UF a v '

On trouverait de la même manière, en formant les équa-tions finales en y et en z,

EQ

Quant aux numérateurs, on forme celui de x en chan-geant dans ce dénominateur A en D j celui de y, en chan-geant B en D ; et enfin celui de z, en changeant Cen D-12. La règle précédente, pour la formation des va-leurs de x,y , z, s’étend à un nombre quelconque d’é-quations et d’inconnues ; ainsi, revenant sur nos pas,si l’on a deux équations

A x-\-By —C =oA';r-{-B ’y —C'=o

en prenantles permutations du produit général AB, descoefficiensdes inconnues, c’est-à-dire

AB BA

et donnant le signe —, au groupe dont le nombre de»variations alphabétiques est impair, on a

AB — BA,

_AD'C"—AC'D"-(-CA'D"—DA'C"-)-DC'A"—CD'A"

Y AB'C"—AC'B"+CA'B"—BA'C"+BC'A"—CB'A" ’

DB'C"—DC'B"-J-CD'B" — BD'C"-|-BC'D”—CB'D"AB'C''—AC'B'-f^A'B''—BÂ 7 C 5 +BGT''^CB 7 A? r ‘

ce qui devient

AB'—BA',

en plaçant l’accent prime sur la dernière lettre de chaquegroupe.

Si.l’on examine ces valeurs on voit aisément que leurdénominateur commun

AB'C’—AC'B"+CA'B"—BA'C"+BC'A"—CB'A"

est composé de tous les produits formés par les combi-naisons trois à trois des neuf quantités >

, A , B , C

A', B', C'

A", B", C"

Cette dernière quantité est le dénominateur commundes valeurs de x et de y.

Pour former le numérateur de x, on change A en C,c’est-à-dire, le coefficient de x, en terme absolu, c 1pour former celui de y, on change B en C. On obtientainsi

CB'—BC'

X AB'—BA'

AC'—CA'y ~ AB'—B A'

combinaisons qu’on peut réaliser de la manière suivante:Ayant écrit toutes les permutations du produit généralABC, savoir

ABC , BAC , CBAACB , BCA , CAB.

Ou donne le signe à tous les groupes dans lesquelsles variations de l’ordre alphabétique sont nulles ou eanombres pair , et le signe — à tous les groupes dont lesvariations sont en nombre impair , ce qui donne

ABC—ACB+BCA—B AC-j-CAB—CBA,

puis on place les accens prime et seconde , sur les deuxdernières lettres de chaque groupe et l’on obtient

AB'C"—AC'B"+BC'A"—BA'C"+CA'B"—CB'A",

ce qui est le dénominateur en question.

valeurs qui, en changeant les signes des deux termes d eSfractions, sont identiques avec celles que nous aVOU strouvées ci-dessus n° 9.

i 3 . Pour appliquer cette règle au cas de quatre équ*'lions et de quatre inconnues, soientïes équations

A cr-|-B y -\-C z -J-D u —E =0A' x-)-By-)-C'z -}-D'w—E' =0A'*+B>fC"z+D'ii—E’=oA’".r+B , 'y- 1 -C"z+D'"u—E'"=o

formons les permutations suivantes du produit généi ,f! 'ABCD

ABCD BACD CABD DABCABDC BADC CADB DACBACBD BCAD CBAD DBACACDB BCDA CBDA DBCAADCB BDCA CDAB DCABADBC BDAC CDBA DCBA