eq

Substituant ces valeurs dans l’équation précédente onobtiendra évidemment une équation en z du degré ndont chaque racine mise à la place de cette variable dans

y—ty+i =o

Fera connaître deux valeurs correspondantes dey, et,de cette manière, on déterminera les in valeurs de yqui, jointes à la première y = i , formeront les in-\-i•’acines de y 3n +‘—r—o.

25. Proposons-nous pour exemple de trouver les cinqr acines cinquièmes de l’unité, ou les cinq racines de l'é-quation

y 5 —i =o.

Cette équation, comme toutes les équations semblablesde degré impair ayant une racine réelley=i , divisonsy % -—i par y—i, et nous obtiendrons pour quotient

y i +y 3 +y’+y + ï =°

équation du quatrième degré dont dépendent les quatreautres racines.

Divisant tout par y 3 et rapprochant les termes égale-ment distans des extrêmes, nous trouverons

r + -=°

faisant

. i

y + - = z

y

y" +y = z2 —‘ 2

et substituant, cette dernière deviendraz 3 -}-z— i =o

" ' " ' EQ ÎU9

Substituant successivement dans ces valeurs celles de z ,nous obtiendrons définitivement pour les cinq racines dela proposée les expressions

i.... .y = i

, .._ -i+V/5+y/(-io-*\/5)

y 4

— 1—y/5+\/(— IO+2V/5)

d.....y- 4

, —1+\/5— V(— I 0 — 2 V 5 )

4 .' v= -4

—I—y/5—\/(—io-j-2y/5)a . y — 4

26. D’après ce que nous venons de dire, on voitque lorsque l’exposant général m de l’équation binômepeut être décomposé en facteurs simples ou premiersplus petit que 11, l’équation est toujours résoluble àl’aide des procédés connus pour les équations des secondet troisième degrés; mais si cet exposant renfermait desfacteurs égaux ou supérieurs à 11, la méthode de dé-composition dont nousvenons de faire usage deviendraitinsuffisante, carpour le facteur 11, seulement, il faudraitrésoudre l’équation partielle

y ' 1 —1=0

qui nous conduirait à l’équation réciproque du dixièmedegré

y IO +y 9 +y 8 +j' 7 +y 6 +y i -\-y i +y 3 +y\+y + 1 =«

laquelle ne peut être abaissée qu’au cinquième degré.

Mais s’il est impossible d’obtenir dans tous les casl’expression théorique élémentaire des racines de l’é-quation

y m • —o,

< î u * > résolue par la méthode du second degré (voyezQuarrée) nous donnera pour ses deux racines

—i+\/5 —i—y/5

2 ’ a *

^f<*is l’équation auxiliaire

on peut au moins les exprimer toujours d’une manièregénérale à l’aide des fonctions circulaires (voy. Sinus) car,en vertu du théorème connu

(cos <p-f-sin <p \/— i ) m =cosmip-\-sir\mç \/— im et 0 étant des nombres quelconques , si 1 on fait

y +- = z ouy 1 —zy+i = o

y

mitée par la même méthode, fournit

1 • • • • y

z-f- \Zz x —4

Z- \/z 3 -4

». ...y =---—.

2

nuf>—itnc, d ou<p =-^7r

tr désignant la demi-circonférence du cercle dont lerayon est i, on aura

cOs 2^7r-j- sin inriyy — i = i

tant que n sera un nombre entier positif, puisque dansce cas