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EQ

C0S2«ir=i , sin 2/i7r=o;

on a donc aussi, dans le même cas, v

f an an -V"

( cos — rr 4- sin —7 t\/— i ) = i.

\m m v J

Substituant cette expression à la place de l'unité dansl'équation binôme, nous obtiendrons

f an .. an .—\ m

y — (cos — ir -J-sin —ity/—i 1

et, conséquemment, (A)

an , . an , -

y — cos —jt 4- sin — v \/—i.m 1 m

En faisant donc successivement n = o, n = i , n= a,etc., jusqu’à n=m —i, dans cette dernière expressionnous aurons les m racines de l’unité. <

Si l’on prenait pour n des nombres plus grands quem —i on retrouverait à l’infini les m premières valeurs, àcause de la périodicité des fonctions sinus et cosinus.

27. Il existe entre les racines de l’unité une relationimportante que nous devons signaler. La première desracines imaginaires , correspondante à la valeur n=i,est, en la désignant par a

2jr , . 27T ,-

r = cos-h sin — W —1 = a

m m v

or, d’après le théorème fondamental,

mais

cos J jr = sin (+r—§ir) = sin g = ■*

car le sinus de 3o° est égal à la moitié du rayon ; on adonc, à cause de la relation générale cos’^+sin’^ — 1,

d’où

sin* -jir=i—J, et sin \n=\/i —J =-J\/3

= là rY- 3 .

cos

an .an - / 2jt . . 2jr .-\"

— rc + sin— icW —1=| cos-1— sm —v — 1 1

ni m v \ m 1 m J

Ainsi toutes les racines de l’unité pourront être repré-sentées par les puissances de cette première a, ou par la

1

suite

<t°, a 1 , a*, a 3 , a A , etc... a™—*

Cette propriété des racines de l’unité rend plus facilel’évaluation de leurs valeurs puisqu’il suffit de trouverla première racine imaginaire en faisant n = 1 dansl’expression (A). S’il s’agissait par exemple de l’équationbinôme

y 6 — i=o

on aurait m = 6, et par conséquent la première racineimaginaire serait

a.a-

y — cos gir+sin g/r\/— 1

Telle est la première racine imaginaire. D’après ce quiprécède on aura donc pour les six racines de l’unité

P+Y/-3J 1 = r+y-Tp+V—3 j* = -i + yA=3

' p4~V'~~3 j 4 _ — 1 —y/—3

p+y/—3 j 5 =

valeurs que nous avons déjà obtenues, ci-dessus n° 22,par un procédé bien différent.

28. Examinons maintenant les racines de l 'unité né-gative , ou celle de l’équation binôme

y m -\-i=o

On sait(vqy. Sinus) que

cos(2/i+i)ir=—1, sin(2/1—j— i)ir=o

lorsque n est un nombre entier positif quelconque; ainsion a

cos(a/i+i)jr+sin(27i+i)jry/—1=—1et, par suite,

y m = cos (2 «+i)jt+ sin (an-\-i)ic\/—i

d’où

y=\/ pos(2«+i)jr+sin(2/i+i)ir\/—1J

2 / 1+1 . 2 / 1+1 ,-

_cos-ir + sin- -—n 1/—1.

m ni . v

Telle est l’expression générale ï*es racines de Vunll