EQ EQ m

*iégmti\<e, dont on obtiendra les valeurs en faisant suc- x — a —

cessivement n=o, ri— i, n=i, etc., jusqu’à n—m —i.

Eu désignant par a la racine correspondante à n=o,

ou

• x —a-f-iy/—i

Ce premier membre sera donc aussi exactement divisible

cos- 1 - sin — v — 1 — 9

m m *

par le produit

on a

S 7 T . . 7 T , —V’ ,+ '

«in+>=[ cos- 1 -sin- W —I )

\ ni m J

(271 4 -iW . (an+iV, ,-

= cos v - - —— 4 - sin i-—— V/—i

m ni r

(, x — a — b\/ — i)(x — a-)-b\/ —i) = x *— < iax-\-a 2 -\-b 2

ou, ce qui est la même chose, x 2 —2.ax-(-a’-J-à J sera unfacteur du second degré de l’équation proposée.

On peut doue facilement trouver tous les facteurs dusecond degré d’une équation binôme en prenant le pro-

o est-à-dire que toutes les racines peuvent être encoree xprimées par les puissances de cette première et qu’ellessont représentées par la suite

duit de ses facteurs conjugués du premier degré. Parexemple les cinq racines de l’équation—i=o, sont

cos o -|-sin o y /—i

a 1 , a 3 , a 5 , a", a9, etc. . . .a 1 "*— *.

2 2 -cos £*+ sin- 7 r\/ —t

29. Les racines de l’unité tant positives que négatives8o nt encore données par les expressions générales

cosÿr-f- sin^iry/—i

2n . an ,-

r= cos—x — sin — x W —im m

6 , . 6 —

cos -x-}- sin — 1

nn4-i . 2/z+i y -

• Y = COS - - -X-Sin-7T W -1

m m

8 , . 8 7 -

cos sin v — 1

c &r on a effectivement pour toutes les valeurs de n en-tres et positives

ce que l’on trouve en faisant successivement nr= o, I, »,3 et 4 dans l’expression k, n° 26.

Or , en observant que (voy. Sinus)

cos 2«jr ± sin 2mr y/ — i =*=i

cos 0 = 1 , sin 0 = 0

cos (un-)-iy ±; sin(2«+i)ît\/ — i = — i

COS — C 0 S(jt 4 -=jr) = COS (w— ^ 7 r)

** est facile de voir que les valeurs des racines cor-res P°ndantes aux valeurs n= o, n— i , n= 2, etc. , se-i ’°nt les mêmes que lorsqu’on prend le signe -f- ; seule*^ent elles se présenteront dans un ordre différent.

11 résulte de cette considération que si

4

= cos ~ x

5

.6 . . 1 1 \ . / ï x

sin-x= sin(x+^7r)= — sin(x —- x)

■ 4

= — sin-=x

5

a+b\/ — i

8 , ,3 . 3 a

cos ^x = cos( x-j-^x) = cos (x — ^x)

Une racine imaginaire de l’unité

2

= COS i,X

5

a — b\/ — i

8 3 ^

sin jît = sin(îr-|-T7r) =— sin(ir — jjs)

^ nécessairement une autre du même degré. Onn°«une racines conjuguées, de telles racines qui ne dif-

re nt que p ar l e signe du coefficient de y /— i.

^°* nous représentons généralement par a-\-b\/ — ie des racines imaginaires de l’équation binôme

lent _ _ _

1 — 0,a — b y /— i sera laracine conjuguée, etlepre-**n® r membre de cette équation x m — i sera exactement'visible (i 5 ) p ar i' une e t l’autre des quantités

. 2

= — sm_îr

5

les quatre racines imaginaires deviennent

2 . . 2 , -

cos g 7r -+• sin -ÿty /—1

cos p ir 4 - sin-w»/ — 1

5 5