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• EQ

cos 1 ir — sin IttV/— i

f» h r

2 2 .-

COS ^ TT-Sin p7r\/-1

o 5

et l’on a

EQ

équations binômes dont les racines seront les im racine»de la proposée. '

À*

Si l’on a B^>-r-, les valeurs de z ou de x m seront

4

imaginaires et on pourra leur donner la forme

2 ^ -

x 5 —i = (x — i)(oc —COS; 7: —sin g7f\/ — i)

-h V/— i.

2 v

%(x —cos| 7r — sin g7T\/—î)

^ 2_

X [x —cos ^Tr-f-sin^TT \/—i)

/ ^ _

X ( x — cos^fr+sin;7t y/—i)

J O

2 à

X 5 — I = (x — I )(x“—2XCOSg7T-j-1 )(a3 1 —2XCOS^7T-f-1 )

en formant les produits des facteurs conjugués.

On trouverait de la même manière

I 2

X R — I =(x*— l)(x 2 —2XC0S^7T + I )(#’—2XCOS^7T+ 1 )

C’est surcette décomposition de l’équation binôme enfacteurs du second degré qu’est fondé le célèbre théo-rème de Cotes dont nous parlerons plus loin (34).

3i. Equations trinoXies. On donne ce nom à touteéquation de la forme

x s ' n -j-A.r" , -|-B =o

c’est-à-dire, à toute équation qui ne renferme que deuxpuissances de l’inconnue et dont l’exposant de l’une estdouble de celui de l’autre.

Ces équations se résolvent comme celles du seconddegré, car en faisant x m =z on a x 3n *=z 1 , et la propo-sée devient

z*-}-Az-J-B:=o

dont les deux racines sont (voy. Quarree)

Ainsi, en faisant

V*-j= b

on aura

x m —a±.b \/—t

et les 2 ni racines de la proposée seront représentées parl’expression

x =y/|\ï ±; b \/—i J

mais, nous pouvons donner à cette dernière la formex = y / \ \/â , +A 1 .[— ±--ry =~— V'~ , ll

L LV / a 1 -J- 6 ’ N/a’-J-é’ JJ

et, comme alors —- U - , - - - _ , sont des frac-

’ Va' + b' Va' + b 2

tions plus petites que l’unité, nous pouvons supposer

aussi

= cos <p

-4V¥^

ainsi désignant ces valeurs par a et b nous avons succes-sivement

X m —a ou x m —a=oX m —b ou x "‘— b=o

Va’-j-b 2

d’où nous tirons ,

sin^ =V /[—= V

= ^\^+b] = ÿ^^.

remarquant de plus que

v*+b 2 = v[ 7+ b_ ^:] = v B

l’expression de x deviendra

Jm / ( -- h

x = \/ B. ! (cospibsiiupy/-—i)

mais n étant un nombre entier quelconque>

«oü»

avons