mais a étant le rayon du cercle nous avons

X 2jr.cos^~^Q + i jX jx>— + i j

X J^r’— ix. cos ^““^r“^ 4* 1 j

donc

x* —a^.cos^-f* 1 = Ow X^i X® 2 X03

34. En faisant <p=rr et p=o, il est facile de déduirede ce théorème celui de Cotes dont la découverte fitfaire, dans le temps, des progrès au calcul intégral.Nous allons le démontrer directement par la décompo-sition de l’équatiou binôme en «es facteurs du second

Théorème. Si dans un cercle décritdu rayon KC—a onmène un diamètrequelconque AB, qu’à partir de l’extré-mité A on divise la circonférence en un nombre pair 2 mde parties égales et qu’on désigne par o, 1 , 2 ,3, etc.,ara— 1 , ces divisions , en faisant répondre o à l’origineA , et que de plus , d’un point quelconque O pris sur lediamètre ou sur son prolongement et du même côté ducentre que l’origine, or. mène des droites à tous lespoints de division , le produit de toutes les droites me-nées aux numéros impairs est égal à la somme des puis-sances m du rayon et delà distance dupoint O au centre;le produit de toutes celles menées aux numéros pairsest égal à la différence des mémos puissances.

Ainsi désignant par x la distance OC, on a

a=”-|-a"=OiXO 3 XO 5 X 07 .etc.

« m =OoXOaX04X08.etc.

Lu cfiet, du point 1 abaissons la perpendiculaire iP

iP = a.sin arc AiPC = a .cos arc Ai

et, de plus,

OP=OC—PC—a:—a.cos arc Ai

nous avons donc, en désignant simplement l’arc Ai pa f

Ai,

01 = ar*—2 cctcos Ai -J-a’cos 1 A1 -(-a ‘sin’A i= x*—iax cos A1 -J-a*

On trouverait de la même manière

— ■

O2 = x* — 2ax . cos A24-a*

_ 3

03 = x* — iax. cos A3-)-a’

—a

04 =x *—2 ax. cos A4+a aetc, etc.

mais v désignant la demi-circonfércuce du cercle, on *

Ai =— , A 2 = — , A3 ,ni m m

etc.

etc.

Ainsi les carrés des lignes menées aux numéros pairs seront

02*

= x % -

- 2 cr.r.cos

27f

m

= x* -

- 2 ax . cos

/[7C

m

+ «■

Ôü

= x 1 -

- 2 a,r.cos

Gr

a %

m

etc.

etc.

• «J**

et les <:an;és des lignes menées aux numéros impan’* *ront

— » 7T

O i = x x — 2 ax . cos— 4- a*m

—• op

03 = x % — 2 ax . cos- \- a*

m 1

.i a

05 = x % — %ax . cos-U

m

etc. etc.

Or, si l’on décompose l’équation binôme

et nous aurons

x m — a m =o