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EQ
EQ
e n ses fadeurs du second degré, on a évidemment,lorsque m est un nombre pair (p ),
«— a m = (x 2 — a 2 ). Çx 2 — îax.cos ~ -f- a 2 ^
X (x 2 — 2AX.COS — + a 0
r 6ic , \
X [ x 2 — 2 atc.cos — + a 2 \
X etc.
f m —2 \
X f x 2 — 2 ax.cos—-— -k. a 2 J
et lorsque m est un nombre impair (< 7 )
r
27P
! ) •
\^x 2 — lax.cos
m
x
( x 2 — 2 aa;.cos
4 TP
m
c
Ô7T
x
X 2 — 2OÆ.C0S
—
V
m
X
etc....'
Y m —1 . \
XI sc 2 — lax.coi. - 7T-f- a 2 J
Mais dans le cas de m nombre pair, parmi toutes leslignes menées da point O aux numéros pairs se trouve-nt les lignes OA et OB qui répondront aux extrémitésdu diamètre et dont les valeurs sont
En décomposant l'équation binôme Æ"-fa" I =o enses facteurs du second degré nous trouverons, en suivantla même marche,
x*>+a m =Oi X03X05X • • • XO fl XO<?Xetc.
et ainsi se trouvent démontrées les deux parties du théo-rème de Cotes.
35. Equations réciproques. Toute équation d’undegré quelconque qui, ayant une racine =a , en a une
autre = ~, prend le nom d ’équation réciproque.
On démontre aisément qu’une équation ne peut êtreréciproque que dans les cas suiyans : i° quel que soit ledegré, pair ou impair , si les coefficiens des termes hégale distance des extrêmes sont égaux et de mêmessignes ; 2 0 lorsque le degré est pair et que le terme dumilieu manque , ou lorsque le degré est impair, si lescoefficiens des termes a égale distance des extrêmessont égaux et de signes contraires
Ces équations sont remarquables parce qu’on peutabaisser leur degré de moitié et qu’il devient ainsi pos-sible de résoudre celles des neuf premiers degrés à l’aidedes procédés théoriques connus jusqu’à présent.
36 Soit, pour fixer les idées, l’équation réciproque dusixième degré (a)
Ax 6 -l-Bx s -}-Gr 4 -}-Dx 3 -|-Clr > -{-Bj:-f-A = 0.
i)z\.=x — a , OB=x+tj
*t le produit
OA X OB=a:*— a 2
a >nsi dans ce même cas l’expression (p) devient
Il est d’abord facile de s’assurer que - est racine de
a
cette équation si a en est une. En effet substituons ià la place de x , nous aurons
a"»=OAXOBX02* X04 XOO*.XO(/«— 2 )*
toutes les lignes O 2 , 04, 06, etc. O (m— 2 ) qui5 ° n t situées d’un ,nôme côté du diamètre ont leurs cor-res pondautes O a, O d, etc., qui leur sont respective-Dlen t égales, de soi te qu’on peut écrireO 2 XOÔ à la place
^2 , O;, XOd à la place de 04 etc., etc. Nous au-r ° ns donc définitivement
*"•—u"*=OAX02X04ctc... XO^XOiXctc,
( est-à-dir e que la différence des puissances x m et a m estr C a le au produit de toutes les lignes menées aux numé-l0s pairs.
k* même chose a évidemment lieu dans le cas den °mbre impair', car on a alors OA=x— a et par suite
—a’»=OA XO 2 ' X 04* X-O \pi— 1 )*
=OAXÛ2X04Xetc... XOdXOôXetc
A-4 + B 4 + C-ij+Di3+C-L-t-B-+A=M
en désignant par M la valeur inconnue que prend le se-cond nombre de l’équation par cette substitution. Or,en multipliant les deux membres de cette dernière para 6 , nous obtiendrons ( b )
A-f-Ba+C«»+D« 3 +Ca 4 +Ba 5 +Aa 6 = Ma 6 ,
Mais a étant racine de la proposée et le premier membiede (b) étant précisément ce que devient (a) en y faisantx—a , nous avons nécessairement
Ma 6 =o, ou M=o
donc le premier membre de l’équation (a) se réduitaussi à zéro en faisant x = ~ , et par conséquent i estracine de cette équation.
On vérifierait de la même manière le cas des expo-