Table des puissances.

les chiffres au moyen desquels elle est représentée dansnotre système décimal de numération et nous pourronsposer, p étant l’exposant des plus hautes dixaines,

«"-f-J = A'fioyH-BXioV’—'4-etc- M'(io)'+N'(io)'

substituons cette valeur dans (4), nous obtiendrons (5)

(a.io-J-ô)" = A'(io)P+ n +B'(io)p+ n “ I + etc.

+N'(io)» + A.Cio)»- 1 +A.(io)»->+ctc....

égalité qui doit être identique avec (2). Nous avonsdonc nécessairement

m—p-\-n , d’où p=m — n ,

et de plus

A'=-A, B'=B, C'=C, D'=D, etc. etc.

Ainsi les chiffres A', B', C' etc., qui expriment la quan-tité a n -\-S, sont les premiers chiffres A , B, C, etc. dunombre proposé depuis celui de l’ordre le plus élevé(loj™ jusqu’à celui de l’ordre (io) n inclusivement.Nous avons donc (6j

A(i o) OT +B(io) m -’-|-C(i o)”*— ï +etc.+P(io) m -;’

Ainsi, en admettant qu’on connaisse d’avance les puis-sances du degré m des nombres simples, 1 , 2, 3, 4) 5,7, 8, 9, la plus grande de ces puissances, que con-tiendrait le second membre de l’égalité (6) serait a n etla racine connue de cette puissance serait a, c’est-à-dire1 e chiffre des dixaines de la racine cherchée.

2. On voit donc ici la nécessité de calculer préalable-ment une table qui soit pour Y extraction des racines ce1 u ’est celle de Pytliagore pour la division. La construc-ti°n de cette table ne présente aucune difficulté.

Ayant écrit sur une même ligne verticale les neufchiffres de notre numération, on multipliera successi-Ve ment chacun de ces chiffres par lui - même et onécrira les résultats à côté, de manière à former uneseconde colonne verticale qui contiendra conséquem-ment les secondes puissances des nombres de laPremière. On multipliera ensuite chacun des nombresla seconde colonne par son correspondant de la pre-mière colonne et on formera avec les produits une troi-s'eme colonne qui contiendra les troisièmes puissances*les nombres de la première. En multipliant de nouveaul es nombres de la troisième colonne par leurs corres-Pondans de la première, on formera la colonne des'l U( Urièmes puissances , et ainsi de suite.

Exposans 1

2

3

4

5 etc.

I

I

I

I

I

1

4

8

16

32

3

9

27

81

243

4

16

64

256

1024

5

125

625

3 ia 5

6

36

216

1296

7776

7

49

343

2401

16807

8

64

5l*2

4096

32768

9

81

7 2 9

6561

59049

A l’aide de cette table

on peut

donc trouver immé-

diatement la racine d’une quantité donnée lorsquecette racine n’a qu’un seul chiffre. Par exemple si l’ondemandait la racine quatrième de 2401 , en cherchantce nombre dans la quatrième colonne, et en voyantqu’il correspond au chiffre 7 de la première on sauraitque la racine demandée est 7.

Si le nombre proposé n’est point une puissanceexacte , il faut alors chercher dans la colonne du degrédésigné le nombre plus petit qui en diffère le moins etla racine de ce dernier est alors celle de la plus grandepuissance contenue dans le nombre proposé. Ainsi, s’ils’agissait de trouver la troisième racine de 35o, comme343cstle nombre le plus petit qui diffère le moins de 35o,dans la troisième colonne, on verrait que la racine de35o est plus grande que 7 mais qu’elle est plus petiteque 8, et conséquemment que la plus grande troisièmepuissance contenue dans 35o est 343.

3. Revenons à notre opération généiale. Il faut donc,pour trouver le chiffre des dixaines de la racine de-mandée, extraire, au moyen de la table des puissances,la racine du degré n du groupe de chiffres de l’ordre mà l’ordre n, ou, ce qui est la même chose, du groupe dechiffres restant à la gauche après qu’on a séparé n chiffressur la droite. Pour rendre ceci plus sensible , supposonsqu’il s’agisse de trouver le chiffre des dixaines de laracine quatrième de 26873856, on séparera quatre chif-fres à droite, et on cherchera dans la quatrième co-lonne de la table des puissances le nombre qui approchele plus des chiffres restaus 2687, ce nombre étant 2401dont la racine est 7, on en conclura que le chiffre desdixaines cherché est 7.

Mais le chiffre des dixaines de la racine, ou le nombre ,a, étant ainsi déterminé, il est évident qu’en retranchanta n de A(io) m 4-B(io) m — 1 -j- etc...P(io)'" _ P on obtiendrapour reste la quantité<îà côté de laquelle écrivant les qua-tre chiffres retranchés de la quantité proposée, on aurareste général qui doit être égal à