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cette dernière quantité étant ce qui reste du secondmembre de (3) après en avoir également retranché a n .

Le premier terme de cette quantité contient n fois lapuissance n —1 de a multipliée par b ; si donc l’on con-naissait dans le reste général les chiffres qui contiennentce produit, en les divisant par na 1 on obtiendrait bpour quotient, et laracineserait entièrementdéterminée.Mais il est évident que ce produit ne peut avoir deschiffres de l’ordre n —2; ainsi, en retranchant n —1chiffres à la droite du reste général, les chiffres restantà la gauche contiendront nécessairement ce produit,plus une quantité quelconque y provenant des dixainesreportées des ordres inférieurs. Lors donc que y seraplus petit que na en divisant les chiffres restant à lagauche par na n — 1 , on obtiendra b pour quotient et ypour reste; dans le cas contraire, le quotient de la divi-sion pourra surpasser b d’une ou de plusieurs unités.Ainsi en supposant que ce quotient soit 0 , il faudraélever «.to+eà la puissance n, cl si la puissance trouvéesurpasse la quantité proposée (1), c’est que 0 est plusgrand que ô; alors on substituera 0 —1 ou 6 — 2 dans laracine, et on fera un second essai qui déterminera lavéritable valeur de b. Nous allons éclaircir ce procédépar quelques exemples,

4- Problème. Trouver la racine quatrième de26873806.

Nous avons déjà vu ci-dessus qu’en séparant quatrechiffres à droite, le nombre restant '.1687 avait pourracine 7, ou pour mieux dire , que la plus grande qua-trième puissance contenue dans 2687 était celle de 7,c’est-à-dire 2401, retranchant donc 2401 de 2687, etécrivant à côté du reste, les quatre chiffres retranchés3856, nous aurons pour reste général 2863856. Retran-chant trois chiffres à la droite de ce reste général, leschiffres restons à gauche, 2S63, doivent donc contenirle produit

na n —'b , c’est-à-dire ici !\<Pb

mais la table des puissances nous fait connaîtrect 3 z=7 3 3=343

ainsi 4 a3 —4X343=1372. Divisant donc 2863 par 1372,le quotient 2 sera le chiffre cherché des unités de laracine, et cette racine est 72. Eu effet, élevant 72 à laquatrième puissance , ou retrouve 26873856.

On dispose le calcul de la manière suivante :

EX

2687 • 3856 ( 7 dixaines de la racine2401 (

2863.85611372 diviseur == 4-7 3l 2 unités de la racine.

r

5. Problème. Trouver la racine troisième ou cubiquede 2438g.

Dans ce cas particulier n= 3; ainsi, ayant séparé troischiffres à droite, on cherchera dans la table la troisièmepuissance qui approche le plus de 24 : c’est 8 dont laracine est 2. Après avoir retranché 8 de 24, ou écrira389 à côté du reste 16, et on séparera deux chiffres adroite de ce reste général ; les chiffres restans seronti63 qu’ondiviscra par na — 1 c’est-à-dire par3.2’=i2-Le quotient de cette division est 10; mais comme I echiffre des unités ne peut surpasser 9, on conclura quece quotient est trop grand, et l’on essaiera si 9 lui-mêmen’est pas dans le même cas 29 en élevant à la troisièmepuissance. Le calcul donnant 2g 3 = 24389, 29 est laracine demandée

24.38i) j 2 dixaines de la racine

i63.8g j 32 diviseur = 3.a* ’ • J

( 10 quotient.

6. Problème. Trouver la racine cinquième de6436343.

Ici n= 5 . On séparera cinq chiffres à droite, et oncherchera dans la table la cinquième puissance imme'diatetnent au-dessous de 64; c’est 32 dont la racine est2. A côté du reste de 64—32, on écrira les cinq chiffre 5retranchés 36343 ; on séparera quatre chiffres à droite,et on divisera 323 par 5. 2 4 =8o. Le quotient étant4, on élèvera 24 à la cinquième puissance , mai*comme le résultat de l’opération donne 24* = 7962624c’est-à-dire un nombre plus grand que le proposé, cCqui indique que le quotient 4 est trop grand , on lu'substituera 3, et en élevant 23 à la cinquième puissance,on trouvera 23 5 =6436343 ; ainsi 24 est la racine demandée.

7. On peut facilement étendre ce procédé à la > -e 'cherche d’une racine composée d’un nombre quelconq uede chiffres. Mais avant d’aborder cette question, rema f 'quons que A étant un chiffre quelconque de notre *V*tème de numération, la puissance h de ce chiffre^étant un nombre entier) ne peut contenir tout au plus q uC/ichiffres, caren supposantmême que Asoitleplusgcandes chiffres, c’cst-à-dirc A=g=io—1 il est évid e,ltque 9" ou (10—1)» doit être plus petit que io n ; or o° a

io‘= 10, io’=ioo,io 3 = 1000, io 4 = 10000, etc.

d’où l’on voit que 10" a n-f-i chiffres , ainsi 9” ° U(to—1)° nepeut donc avoir au plus que n chiffre*-