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d’où l’on tire en faisant ^ = o<7
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. m 7’
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x-5
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14. Si dans la seconde de ccs égalités on fait m = I,elle devient
r pu t u ? pi
U?’] ’’ -„V
et son premier membre exprime le produit
pxlt . 7 ) 7l? • • • •
4
expression qui donne la signification des facultés à ex-posans fractionnaires négatifs.
16. Les propriétés générales que nous venons de dé-montrer pour les expnsans entiers et fractionnaires po-sitifs peuvent s’étendre par analogie aux exposans néga-tifs, mais si l’on veut en obtenir la déduction directe onpeut avoir recours à des transformations très-facilesdont uous allons donner un exemple.
m étant un nombre entier ou fractionnaire, nousavons (7 et 15)
<px~
<p{x — mi) m if
ou peut donc le mettre sous la forme
jf [^r^f
et, conséquemment, n étant aussi un nombre entier oufractionnaire nous avons encore
<p x-{ m + n W —
qui se réduit, en vertu des expressions mûmes 4ontnous sommes partis, à
P , Pf "—o i t
. <p{x-\- P J) 9 1 ,
de sorte que nous avons l’égalité
~<p x —
mais d’après 4 et i4
tp{x —(m-|-n)?)'”+ n l5 z=z<p{x— (OT-f-n)?)"!*. Ç>(x—nt)"\
nA *1
P( n —*)l-" ::—if
donc
or
<p!x — [m-\-ri l Zf n $.q>{x —nî)"l5
ÇX ^ =s<px 9 ^ 9
Si, dans cette dernière, uous faisons —— = - d’où
7 s
n = -4-1, nous aurons définitivementps 1
_= 0X~“ 15
<p(x —n{)"lï
-<P (x—r>i)
-mit
p. r l f pt.
.?JI !
<DX 9 •' =:<fX 9i .?>(*+ÿ)' r .
Ainsi la proposition du numéro 4
yx"+Pl? = ipx n lf .y(x-j-«f)PlÇ,
•e trouve démontrée pour toute valeur positive entière*t fractionnaire des deux termes de l’exposant binôme.*5. On prouvera de la même manière que
= _
•v »1
pi.
<px‘
ç(x — (m-\-n)i) m \ïdonc en substituant, on aura encore
<pjc— m —— <px— n 'X.<p[x —n{)—"15
et de cette manière la proposition du numéro 4 setrouve démontrée pour toutes les valeurs des deuxtermes de l’exposant binôme.
C’est en opérant d’une manière analogue qu’on peuts’assurer que toutes les propriétés des facultés exposéesdanslesnuméros précédenssubsistent,quelsquesoient lesexposans entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs.
1^. Procédons maintenant a la déduction de la loifondamentale des facultés.
Si nous désignons par Log . <px , le logarithme na-turel de la fonction fX, nous aurons évidemment
<*+î- 5« y
Log < <fÆ"15)=log. $X-{-\og.(p -f-.
4-log.<p(x-i-(m—1)|)