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et nous obtiendrons, en développant les termes du se-cond membre de cette égalité par la formule de Taylor,(Foy. Différentiel, 34) la suite d’expressions
log. p.r = log. <px.
+ etc.
log.<p(x-j-aî)=log. <px -F % + —
dx 1 dx 2
-f- etc.
1.2
FA
Si nous désignons donc maintenant par/"f l’exposantde e et par F| la puissance elle-même ou la faculté<fX m 15, nous aurons
F | =e/ï
Mais F| étant considérée comme une fonction de lavariable |, son développement d’après la formule deMaclaurin {Foy. Différentiel, 36) est
Ff = F f -f~-. { + . I rf3 ~- 4. etc
* ^ «?|* 1.2 ' \d$ 1.2.3 '
df
etc.
etc.
dx 1 dx 2
-j- etc.
log. i)i)~\ 0 ^x-\-—^^{m— 1) { +
çMog^^-Q^ etc1 dx ’ 1.2 1
Ainsi désignant par
la somme des nombres 0,1,2,3,4, etc. jusqu’àm —1, par M'm) 2 la somme des secondes puissances deces mêmes nombres et en général par
M(//i)n la somme de leurs puissances n, ou
o"-)-1a"—}—3”—(—4"—f— etc.-f- ( m —i) B
Nous aurons, en additionnant,
Log. (faHS) = m log. fx M(/ra),^i ^ -^. |
le point placé sur f indiquant la valeur zéro qu’ilfaut donner à cette variable après les différentiations.Faisant donc
N 0 = Fç
dF j
N
d\
N — -JF
N - ePFiNi —df>
etc. = etc.
+ M(in),
,d 2 log. r x % 2
dx 2 T7 j + etC ‘
ou simplement
Log. (<Fc'«l?) = A 0 -fA,.|-fA,.J- -f As.-i—-4-etc
1.2 1.2.3 1
en faisant pour abréger (m)
A 0 = m log. yx
dx
A. = M (m),
v dx 2
A
etc. = etc.
Or, e étant la base des logarithmes naturels, on a gé-néralement
e log. x = x,
fX m
5— e A °+ A .£ + A,.—-(- etc.
nous aurons pour le développement de F{ ou del’expression (n)
f *»l?=N 0 -f-N I .|+ N,.- l - 1 -+N 1 . 7 ^ + etc.
et il ne nous reste plus à trouver que la loi des coeffi-ciens, c’est-à-dire la loi des différentielles successivesde la fonction F|.
Or de
F S= e Jf
nous tirons, en différentiant {Foy. Différentiel , 32)
dF$=d{efi)=efï. dfl=zF%.dfl-,
nous aurons donc, en vertu de la loi fondamentaledu calcul différentiel (Foy Différentiel, 27 )
dFi =F| .djld'F%=dF%.df\-\-Fi.d 2 fktPFi=d 2 Fh.dfl -f 2f/F!.<f’/| -f. F fd 3 /.
^F{== dïFk.dfh -f 3^Fç.^y|-F3cfF|.flfy{
-F Fl.d*Jt
etc. — etc.
Ainsi divisant par rf|//| J ,<f| 3 ,ctc. , et faisant {=0après les différentiations, nous trouverons pour les coef-ficiens N„, N,, N a , etc., les expressions
N„ = F ç
N,=N 0 .^|-
d%
Ni—N —-4-N d'fî