FA

FA

M

N —N + 2 N ^F-4-N”• * di ^ '• d? + 0 d?

.=-K,ÿi

N * = N ^F+3N,^f + 3N ,.-ÿ-

cm

<Pf\

dl _r “ i,a ' d%*

m

+N„.-

dÿ

etc.=etc.

La détermination des valeurs des différentielles suc-cessives deyi, se faitsans aucune difficulté; car puisquenous avons

/| _ A 0 +A,|+A„_-+

etc.

nous obtiendrons successivement, en différentiant lesdeux membres de cette égalité et en faisant f = o aprèschaque différentiation,

. d lL _ A

d% - A '

*/l_ a

dl' — A *

€/± — A,

et en général

±fi —a

T*.-Au

ui n

Si nous remarquons en outre que lorsque| = o, ona î | =s,<fx m ,

ta — i &) — 2

fd 3 log. <px\

X 1 J

~1 M Hs- dx 3

I ■ 2 ■ 3-(-etc.

Cette belle loi du développement des facultés estdue à M. Wronski , qui l’a donnée, sans démonstration,dans la première note de sa Réfutation de la théoriedes fonctions analytiques. Il suffit de se rappeler quetoutes les propriétés des facultés ont généralement lieu,quels que soient les exposans entiers ou fractionnaires,pour pouvoir conclure qu’il en est nécessairement demême de leur loi fondamentale.

Nous verrons plus loin comment on évalue dans tousles cas les quantités M(m)i, etc.

18 . Dans le cas où la fonction <px est simplement x,c’est-à-dire, lorsque la faculté peut être considéréecomme une simple factorielle, on peut, en partant desrelations connues

(nih) = M(m)ia (mil) = M(m),. (mis) —

3(mI3) = M(m),. (mil) —{/?*),4(/«/4) ®= M(/»),.(/wi3) — +

-f- M(m ) 3 . (mis )—M (/») 4etc. =etc.

qui existent entre les sommes de puissances'M(/n) n et lessommes de produits (min) , réduire les expressions (p),en (q)

nous aurons définitivement, en substituant dans lesexpressions (n) toutes ces valeurs, ou plutôt celles deA i; A, etc., données ci-dessus sous la marque (ni), lesexpressions finales (p).

N 0 = tpx m

S -= N.. M(,»),.(^i)+,N..MW..(^!»Ï)

et en général

N„ = x m

N, = 'il[.(m) l .x m ~i =(mh).x m — 1

N, = | (m/ij.Mfm), — MO), j x m —*— i. •3.(mld)x"‘~ i

N 3 = 2 | (m/a)M(/7i), — (mil) M (m), -}- M(m)j | x m — 5

= i.2.3 (mI3)x m ~ letc.= etc.

et, en général,

No, =3 i. 2 .3. 4 . • • «. (mlu).

nous aurons donc, dans ce cas particulier, (q)

s= x m + (mh). x m -'i -f- (mil). x m —

-j- (mI3).x m — 3 | 3 -(- etc.

et tel est en effet le développement que nous avonstrouvé pour les factorielles. Voy. Factorielle, 1 4-19 . Il nous restes déduire de la loi fondamentale des