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facultés, le fadeur élémentaire (voy. ce mol) de cesfonctions. Or en considérant p comme une quantité in-finiment petite 4, l’expression (cl), n°4> devient
ÿX
n-j-ilÉ «Il , . -J;!?
■ = rpX .cp'jr+nf)
indice impair, comme 03, 0s, 0,, etc., seront égales àzéro , excepte le première 0„ et que toutes celles d’unindice pair sont alternativement positives et négatives.On trouve ainsi
i £ »
et la quantité 4'*+«f7 = ç est évidemment lé facteur élé-mentaire de la faculté <px"!ï. Dans le cas des factorielles
on a
» >
ainsi (.r+«f) ,01? est le facteur élémentaire de la facto- .riclle générale x n ’$. Il suffit donc d’appliquer à ces deuxfacteurs les lois respectives des fonctions dont ils fontpartie pour obtenir leurs générations. Commençons parle facteur élémentaire des factorielles.
En vertu delà loi .(«), (voy. Factorielle, i 4)> rap-portée ci dessus sous la marque (q) nous avons (r)
0 ,= + -, 0 »=-1 2
T
u4o
I - 1
I
0a 4- J 0io —
12
i3'2
« 1 «
6qi
9 * ,,»■
32760
96=+ T32- 0,4=+
I
IJ!
etc. etc.
(*+«$)»*= (x+nlr+dh).
V
I
+m-
(■*+«$}
.. + etc.
Ces nombres, d’un grand usage dans le calcul som.matoire, sont connus sous le nom de nombres de Ber*nouilli.
L’expression (r) devient donc
P
— i0j. 7 —— etc....
les cocfficiens (ifi), (£h), etc-, étant ce que deviennent(mli), (mh), etç.,.dans le cas de m=&
Mais en substituant £ à la place dc«t dans les expressions(b) (voy. Factorielle, i4) qui donnent les valeurs de(mh), (mh), c te., on voit que tous ces cocfficiens de-viennent des multiples de celte quantité infiuimentpetite et qu’ils sont tous affectés du signe —; désignons
donc par—-^0,, — — etc ” ce q ue devien-
nent dans ce cas les quantités (mh), (mil), etc., çt en di-visant de part et d’autre par nous obtiendrons lesrelations suivantes (s)
* 1 *
I = 0,-20, 1
i = 0,-30,4-30,
1 = 0,-40,4-603-404i = 0,—50 ,+io0i— io0*+50setc. = etc.
Ainsi désignant par la suite
0..
-i y 4” ®»v- T—»\j 4“®»'7 r > T 4-etc.
*+« I (•* 4 -w îr (.r +«|, 3
n général
- n .
: 0 ,-- 0
I ’
*(”-*) 0 4+
1.2.3.
et, remarquant que d’après la théorie des logarithmes(Voy. ce mot),
(x+n|)â 4 - |=t+ 4 ilog. (*+«{)nous obtiendrons définitivement l’expression ( t)
(*+"<) Sl ' f =i4-^ j 1°G- (*+»©- A ^+^|
c’est-à-dire (/’)
flic. ék’m. *"16=1+^- {log. (*+ f^)—V++g-
JjTous verrons ailleurs des applications importantes deces expressions (Voy. Séries harmoniques).
Pour obtenir maintenant le facteur élémentaire de la
-l|
facultédéveloppons <f(x-\-nfi par la loi fonda-mentale (n)
1.2
+ CtC.—(—I^Onq-i.
, à l’aide de ces relations, on effectue le calcul desitités 0,, 0,, etc., on verra que toutes celles d’un
mit 13
f* =No + n,i + n,-1-4-n._L 3 +
etc.
et, pour obtenir les valeurs des quantités M(/n).»M(m)>