FA

FA

etc., dans le cas de m =i, partons des relations connuesqui existent entre ces quantités et les nombres de Ber-nouilli , savoir:

z =\ ni ‘ — 8 t Pi ,

M(/n), = | m 3 — 9 ./»’ -j -iQ,m,

Al {lll 'ji = i «2 * 0,/77 3 .-)- 3 0.777’ 3 03777,

etc. = etc.

et en général

Mf/?l)»i= 7 . 777"+ 1 0.777" 0, 777"— 1 —

^ ' 7 /—J— I ' I *

n!n —r) „ . . . , .

---- 03 777"—’ 4-.-j-(-l)"0/l+I.

1.2

C’est à l’aide de ces relations qu’on peut effectuer fa-cilement l’évaluation numérique des quantités M(77i),,M(//i)«, etc. pour toutes les valeurs de m positives ou né-gatives, entières ou fractionnaires.

Faisant donc 7/7 = i, nous trouverons

MG). = - 0..1M(S.= + a0..iM(5)»=-303-im®* =+ 404-5etc. = etc.

L.es expressions générales ( p ) deviendront en y substi-tuant ces valeurs

N, = -

N, = +Ns = —

j_ ui log. ?(x+7? |n

00 • ‘L dx 'J

•jl r^ 2| °g - ? ^+«1)1=0 • dx' J

1.0,p

CO L

d 3 log .

dx 3

]

etc. = etc.

e t remarquant, en outre , que

I

No=5»(x+/7?)= =1 + 5. log. ?(j:+ 77 |)

0,1 obtiendra définitivement

f ac - élént. <px n \ï =■ 1 4~| log- <P[x-\-nZ) —

-

+4 «.p_!L^± ï 7 !]. £ ,

_ 03 r ^log.y(x +77| .-|

*•* ’L dx 3 J 5

+ etc.|

iO

En faisant dans cette expression tpx = x, on retrouverale facleur élémentaire des factorielles donné ci-dessussous la marque ( t !).

20. Pour compléter la théorie des facultés algorith-miques, il nous resterait à examiner le cas des fonc-tions de plusieurs variables recevant chacune un accrois-sement différent, et surtout le cas plus général oùlesaccroissemens de ces variables sont eux-mêmes desquantités variables; mais cet examen nous entraîneraittrop loin, et nous sommes forcés de renvoyer nos lec-teurs à l’ouvrage déjà cité de M..Wronski {Réfutationde la théorie des fondions analytiques). Si nous noussommes attachés à démontrer rigoureusement les pro-priétés fondamentales des facultés pour les valeurs frac- *tionnaircs des exposans, c’est que cela n’avait point en-core été fait , et que l’extrôme importance de ces fonc-tions nouvelles repose, principalement , sur les quanti-tés irrationnelles supérieures auxquelles l’extraction deleurs bases donne naissauce ; cette considération nousfera pardonner les détails , peut-être minutieux, danslesquels nous sommes entrés.

Nous verrons ailleurs le rang que les facultés occupentdans la science. Voyez Mathématiques.

Facultés exponentielles. Facultés dont l’exposantest une quantité variable ou une fonction d’une quan-tité variable.

FÀGNANQ (le comte jules ciiakles de) , marquisde Taschi et de San -IIonario, est remarquable parmiles géomètres italiens les plus distingués de la fin duXVII” siècle et du commencement du XVIII e .Dès l’année 1719 il a publié dans les journaux italiens etles ades de Leipsig des mémoires fort remarquablessur divers problèmes de géométrie et d’algèbre. Cespièces furent publiées plus tard , réunies en deux volu-mes iu- 4 ° , par le comte de Faguano lui-même sous cesimple.titre : Procluzzionimathemaliche, Pesaro , 1 •j 5 o;Parmi les nombreux sujets qui y sont traites avec le plusde supériorité , on doit citer une Théorie générale desproportions géométriques , un traité des diverses pro-priétés des triangles rectilignes, et surtout des recher-ches sur les propriétés de la Lemniscate ; une figure decette courbe orne le frontispice de son livre. Sou fils ,Jean-François de Taschi de Fagnano , archidiacre deSinigaglia , s’est aussi distingué dans la même carrière.Les mémoires remarquables qu’il a publiés sur un grandnombre de problèmes qui intéressent la géométrie et lascience des nombres, ont été insères dans les Actes deLeipsig. {Voyez Acta tbad. , 1774, 177g, 1776.)

Nous verrons à l’a. licle Logarithme plusieurs expres-sions très-remarquables de la circonférence du cercle aumoyeu des logarithmes des quantités imaginaires , quiappartiennent à cri deux géomètres.