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FAUSSE POSITION (Règle de ).( Arith. ) Opérationdont le but est de résoudre, à l’aide des nombres seuls ,et sans le secours des formules algébriques, tous les pro-blèmes déterminés à une seule inconnue qui concernentles quantités numériques.

Résoudre un problème numérique , c’est trouver unnombre qui satisfasseaux conditions énoncées dans ce pro-blème. En algèbre, on désigne ce nombre inconnu para?,et après avoir exprimé, à l’aide des signes algébriques, lesrelations qui existent entre les quantités connues , quisont les données du problème, et la quantité cherchée x,on obtient une équation dont la solution fait connaîtrela valeur de x. Si l’on demandait, par exemple, quelest le nombre dont les deux tiers surpassent la moitiéd’une seule unité ; en désignant ce nombre inconnupar x, ses deux tiers seraient exprimés par

^ , sa moitié par - , et l’on aurait la relation

3 2

o.x x .

T = 2+ *’

laquelle, traitée selon les règles des équations du pre-mier degré ( Voyez ce mot ) , ferait connaître la valeurde#, savoir : a?=6.

On fait une fausse position , lorsqu’au lieu de résou-dre directement l’équation , on met à la place de l’in-connue x un nombre pris entièrement au hasard. Si l’onexamine ensuite ce que devient par cette supposition lacondition énoncée , on trouvera ordinairement qu’ellen’en sera pas satisfaite; on verra conséquemment decombien il s’en faut qu’elle le soit, et cette quantité,exprimée en nombres, sera Yerreur de la fausse po-sition.

Une seconde supposition également arbitraire, ouune seconde fausse position, fera connaître, de la mêmemanière, une seconde erreur.

Ayant exécuté ces deux opérations préalables , voicila règle absolument générale à l’aide de laquelle ondéterminera la véritable valeur de l’inconnue :

i° Si les deux erreurs sont de même nature, c’est-à-dire , si elles sont toutes deux en plus ou toutes deux enmoins, multipliez chacune des suppositions par l’erreurque Pautre aura produite , prenez la différence de cesproduits, et divisez-la parla différence des erreurs.

2° Si les erreurs sont de nature différente, cest a-dire l’une en plus et l’autre en moins , multipliez demême chaque supposition par P erreur de l’autre, pre-nez la somme de ces produits, et. divisez-la par lasomme des erreurs.

Dans les deux cas le quotient sera la véritable valeurde l’inconnue.

En prenant, par exemple, le problème ci dessus,

supposons d’abord que le nombre demandé soit 12 :alors, comme les deux tiers de ce nombre sont 8 , etque sa moitié plus i est y , nous voyons que la condi-tion du problème n’est pas remplie , puisque 8 surpassey de i. U erreur de cette première fausse position estdonc i en plus. Supposons maintenant quo le nombre |cherché soit 18 : comme les deux tiers de 18 sont égauxà i2, et que sa moitié plus i est égale à io , nous avonsune seconde erreur en plus égale à 2. Ecrivons ainsi lesrésultats des fausses positions

i re fausse position = 12 , i rF erreur = -f- i.

2 e fausse position = 18 , 2' erreur = -f- 2.

Les deux erreurs étant de môme nature, multiplions12 par 2 , 18 par 1 , et divisons la différence 6 des deuxproduits 24 et 18, parla différence 1 des deux erreurs.Le quotient 6 est le nombre demandé. En effet, lesf de 6 sont 4 > et sa moitié plus 1 est également 4*

La règle de fausse position ne donne des solutionsrigoureuses que dans le cas où le problème proposéconduit à une équation du premier degré. Dans tousles autres cas, son application exige que par des moyensquelconques on se soit procuré une valeur approchéede l’inconnue, mais alors elle devient d’un usage d’au-tant plus précieux qu’elle égale au moins, si elle nesurpasse pas, toutes les méthodes algébriques connuesen facilité.

Toutes les fois donc que l’inconnue déterminée parcette règle remplira la condition énoncée dans le pro-blème , ce problème sera du premier degré ; si elle nela remplit pas, il faudra conclure que le problème enquestion passe le premier degré.

Quant aux valeurs qu’on voudra supposer à l’incon-nue , elles sont absolument arbitraires; tous les nombrespossibles entiers ou fractionnaires conduisent égalementau but; mais comme les plus simples méritent la préfé-rence , et qu’il n’en est pas de plus simples que zéro etun , on simplifiera beaucoup l’opération en prenant zéropour la première fausse position , et un pour la seconde;car l’un des produits devenant zéro, et l’autre étantseulement le produit de un par Yerreur résultante de lasupposition zéro , c’est-à-dire cette première erreur elle-même , la règle pourra s’énoncer ainsi :

Divisez la première erreur par la somme ou la diffé-rence des deux erreurs, suivant que ces erreurs sont denature différente ou de même nature.

Exemple. Partager 47 en deux parties telles qu’endivisant la plus petite par 3 et la plus grande par 5 , lasomme des quotients soit égale an.

Prenant o pour la plus petite partie, la plus grandesera 47> Or, o divisé par 3 , donne o pour quotient,et 47 divisé par 5 donne 9 plus Ainsi la somme des