FA

quotients est g -J- ÿ, et diffère de 11 de i + f, ou de ®en moins.

Prenant i pour la plus petite partie, la plus grandesera 46- Il en résultera pour les quotients les fractions■| et -J dont la somme est plus petite que 11 de J-J.Nous avons donc :

] re supposition =0, i re erreur -§,en moins.

2' supposition =1, 2 e erreur J-J, en moins.

jj étant la même chose que J-J , la différence des erreursest-j-J; ainsi divisant | par , nous obtiendrons pourquotient 12, qui doit être la plus petite des partiescherchées. En effet, 12 étant la plus petite partie , 35sera la plus grande, et l’on a

4 + 3 ? = 11.

Pour démontrer l’exactitude rigoureuse de cette règledans toutes les questions qui ne passent pas le premierdegré, remarquons que ces questions se résolvent àl’aide d’une équation dont la forme générale est

iVa;+B = o

Or, en substituant successivement à la place de x lasuite des nombres naturels o , 1 , 2,3 , etc., on voitque le premier membre de cette équation devient

Pour x — 0, la quantité ,

B

X = I ,

A + B

x = 2,

a A -f B

x = 3,

3 A + B

etc..

etc.

C’est-à-dire que les valeurs successives de ce premiermembre, forment une progression arithmétique du pre-mier ordre dont la différence est A, et dont le termegénéral est A x -}- B , x désignant Yindice ou le rangdes ternies. Ainsi, la solution del’équation A x + B = o,s e réduit à déterminer quel est le terme de la progres-s, on qui se réduit à zéro , ou en dernier lieu quel est1 indice x du terme zéro.

Cette question ne présente aucune difficulté, carO'qxes Progression) en désignant simplement par

Ao, A* ^ A a j A j y A* j etc.. * A;n

ternies de la progression , nous savons qu’un termeQuelconque A„, est égal au premier plus autant de foisa différence de la progression qu’il y a de termesaVant lu*- Ainsi en désignant par D la différence, nous3V ons Pour un terme quelconque A m , l’égalité

A/h “ A* -|- Tft D

FÀ 21

et pour un autre terme quelconque A„, l’égalitéAn — Ao "|- n D

ce qui nous donne pour la valeur de la différence D,l’expression

P A n — A mn — m

Mais il est évident que pour trouver Vindice duterme zéro de la progression, il suffit de diviser leterme A m , ou le terme A„ , pour la différence D ; car lequotient de cette division indiquera combien de fois ilfaut ôter la différence de chacun de ces termes, pour lerendre égal à zéro, et conséquemment Yindice du termezéro sera égal à l’un ou à l’autre des indices m, «dimi-nués de ce quotient. Ainsi Am et An divisés par D,donnant respectivement

«Am — mktn «An —mAn

A n — A in An — Am

Yindice demandé sera

«Ani —mAm «An —mkn

m -r- t - , ou «-?-r—

An —Am An A m

et parla nature du problème, ces deux expressions doi-vent être équivalentes. Elles se réduisent, en effet,l’une et l’autre à

mAn —«An;

An —Am

Ainsi pour trouver Yindice demandé, il faut multiplierchacun des deux termes par Yindice de l’autre, et di-viser la différence des produits par celle des termes:ce qui est le principe de la règle de fausse position.Les conséquences ultérieures sont assez évidentes pourse passer de dévcloppemens.

Quelle que soit l’utilité de la règle de fausse positionen arithmétique, son importance serait bien peu dechose si elle se bornait strictement aux problèmes dupremier degré; mais lorsque par d’autres procédés , ouseulement par le simple tâtonnement on s’est procuréune valeur approchée de l’inconnue , cette règle devientapplicable à tous les problèmes déterminés quels qu’ilspuissent être , et offre alors une ressource précieuse aucalculateur, quand les moyens directs lui manquent ousont trop compliqués. En effet, si dans une expressionalgébrique quelconque dépendant d’une quantité incon-nue x, on substitue à la place de x une suite de nom-bres en progression arithmétique, les valeurs correspon-dantes de l'expression formeront elles-mêmes une suitede termes qui se rapprocheront d’autant plus d’uneprogression arithmétique , que la différence de la pro-