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fondamentales qu’ils tiennent de leur construction ; nnous reste donc seulement ici à exposer quelques consi-dérations particulières qui leur sont propres.

i. Les fractions ne changeant pas de valeur, lorsqu’onmultiplie en même temps ou qu’on divise leurs deuxtermes par le même nombre (alg. i3. 3°), il s’en suitqu’une fraction peut être exprimée d’une infinité demanières différentes; c’est ainsi, par exemple, que cha-cune des fractions

i

2 3 4 JL i_

4’ 6’ 8’ io 1 12 1 14’

exprime une seule et même quantité. L’expression laplus simple d’une fraction est celle dans laquelle lesnombres qui forment son numérateur et son dénomi-nateur sont les plus petits possibles , telle est \ dans lasuite ci-dessus. Or, une fraction quelconque étant don-née , trouver son expression la plus simple , c’est ce quiconstitue le problème de réduire unefraction h sa plussimple expression.

M

Désignons par ^ une fraction quelconque susceptible

de réduction, et par * l’exprexsion la plus simple de

cette fraction , nous aurons

M_ a

N b

d’où nous tirerons

= Na

égalité qui nous fournira les deux relations suivantes :

Na N M

T = M ’ r=a

l* première nous apprend que N doit être exactementdivisible par b. En effet, le quotient de Na par b de-vant être un nombre entier , M et a n’étant pas divisi-bles p ar puisque ^ est une fraction réduite à sa plus

simple expression , il faut nécessairement que N soitex actement divisible par b , pour que le produit Na les °it lui- m ême. La seconde relation nous apprend que^ doit être aussi exactement divisible par a, puisque le1 Uo tient deM, divisé par a, doit être égal à celui de NP ar b } q u ^ <J’ a p r ès ce que nous venons de voir, est unn °mbre entier. Ceci posé, désignonsce quotient par Q,nous aurons

N=*Q, M=aQet^ = ^

^insi, pour réduire la fraction à la forme ^ , il fautdctoiminer le facteur Q commun à ses deux termes,

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car en divisant chacun de ces termes parce facteur,ou auia évidemment

M : Q _ a

ÏTTq ~ b

Mais ce facteur Q étant nécessairement composé de tousles facteurs premiers qui se trouvent en même tempsdans M et dans N, le problème se réduit donc , en der-nier lieu, à la recherche de ces facteurs.

j 35

Soit pour exemple la fraction^-- qu’il s’agit de ré-

duireà sa plus simple expression. En examinant lesdeuxnombres 1 35 et 3i5 , on voit d’abord qu’ils sont l’un etl’autre divisibles par 5 ( voy . Facteur). Ainsi, puisquece facteur premier 5 ne doit pas entrer dans les termesde la fraction réduite, divisons successivement 1 35 et3t5 par 5, et nous aurons pour première réduction

i35

3i5

_ 22

63

En examinant de nouveau les nombres 27 et 63 , outrouve facilement qu’ils sont tous deux divisibles par 9(t/qy. Facteur) , et en opérant la division, 011 obtientpour seconde réduction

22 —63 ~

i35

ou

3i5

es nombres 3 et 7 étant premiers n’ont plus de fac-

3

teurs communs, et l’on en conclut que - est la plus

simple expression de la fraction proposée^:-

Revenons maintenant sur les détails de l’opération. Ilrésulte des décompositions précédentes que i35 estformé par le produit des trois facteurs 3.5 .9 et que 3 1 5est formé par le produit des trois facteurs 7 . 5 . 9 , c’est-à-dire que ces nombres ont pour facteurs communs 5 et 7 ,et qu’ils sont conséquemment l’un et l’autre divisiblespar 5 et par 9 , ou par 54, produit de 5 et 9 . Nous avonsdonc

i35 _ 3X^4

3i5 — 7X54 —

et si nous avions pu trouver d’une manié re sommaire54, c’est-à-dire le plus grànd facteur commun de i35et de 3i5 , nous aurions obtenu immédiatement la frac-tion réduite -f en divisant i35 et 3i5 par ce plus grandfacteur. Ainsi, la manière la plus directe et heureuse-ment la plus facile de réduire une fraction à sa plussimple expression, consiste à chercher le plus grandfacteur commun, ou ce qui est la même chose, le plusgrand commun diviseur de ses deux termes. En opérantensuite les divisions , la fraction se trouve réduite.

S

- I<iA f