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L’opération de la recherche du plus grand commundiviseur de deux nombres, a été exposée au mot Com-mun DIVISEUR.

a. Lorsqu’une fraction irréductible, c’est-à-dire ré-duite à sa plus simple expression, est exprimée par degrands nombres, il est très-souvent utile de chercherd’autres fractions exprimées par de plus petits nom-bres, et dont la valeur ne diffère de celle de la propo-sée que le moins possible; on obtient ainsi des approxi-mations suffisantes pour les moyens usuels. Ce problème,pi'is dans sa plus grande généralité, est complètementrésolu à l’aide de la transformation de la fraction enfraction continue ; (Voy. continu).

Nous avons donné au mot cercle, 3 o, un exemplede ces réductions, qu’Huvgens a employées le premierpour la construction de sonplanétaire.

Fbactions décimales. (Voy. décimale). Pour lesopérations élémentaires qu’on peut exécuter sur lesfractions, tant ordinaires que décimales, voyez lesmots: Addition, soustraction , multiplication , di-vision, EXTRACTION DES RACINES Ct ÉLÉVATION AUX PUIS-SANCES. Voy. aussi périodique.

Fractions rationnelles. On donne ce nom, en Al-gèbre , à toute fonction fractionnaire de la forme

A,x m -)-A, x n -f- A,x ...

...

qui ne renferme que des exposans entiers.

Le problème de décomposer ces fractions en d’autresdont les dénominations soient plus simples, et qu’ondésigne sous le nom de fractions partielles, se pré-sente souvent dans le calcul intégral. Nous ne pouvonsentrer ici dans les détails que ce sujet comporte. ( Voy.le traité élémentaire du calcul différentiel de Lacroix.1828. Pag. 243 et suiv.) Leibnitz est le premier qui aitconsidéré de semblables décompositions, devenues en-suite l’objet des recherches de Cotes, de Moivre,d’Euler , de Simpson et deLagrange.Euler a particulière-ment traité cette matière avec sa supériorité habituelle,dans le second chapitre de son bel ouvrage, analysisinfinitorum.

FRÉNICLE DE BESSY , arithméticien du dix-sep-tième siècle, et l’un des premiers membres de l’acadé-mie des sciences , doit plutôt la célébrité qu’il a acquiseaux éloges de l’illustre Fermât et du savant père Mer-sennes, qu’à la valeur réelle et à l’utilité de ses travaux.Il faut cependant reconnaître avec ses contemporains,qu’il était doué d’une aptitude supérieure et toute spé-ciale puor la science des nombres, car il est certainqu avec sa seule arithmétique, il résolut des problèmesnumériques qui avaient inutilement occupé les médita-tions d’hommes tels que les Fermât, les Descartes . les

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Roberval, les Wallis. Fermât s’exprimait ainsi sur soncompte dans une de ses lettres : « Je vous déclare ingé-nument que j’admire le génie de M. Fréuicle , qui,sans algèbre, pousse si avant dans la connaissance desnombres; et ce que j’y trouve de plus excellent consistedans la vitesse de ses opérations. > Les grands géo-mètres dont nous venons de parler, soupçonnèrent bienque Frénicle ne devait ses succès qu’à une méthodeà l’aide de laquelle il pût généraliser les nombres, etqui lui permît ainsi de se passer de l’algèbre; mais ilstentèrent de vains efforts pour la découvrir, ct Frénicle en fit une espèce de secret qu’il refusa constammentde révéler, malgré les plus pressantes ct les plus hono-rables sollicitations. Ce ne fut qu’après sa mort qu’ontrouva dans scs papiers le mot de cette énigme scienti-fique. La méthode de Frénicle était la méthode d’exclu-sion, qui, depuis les progrès de l’algèbre, est devenuetrop insuffisante pour être employée par les géomètres,pour lesquels elle ne peut plus être qu’un objet de cu-riosité, quoique Lagrange et Euler aient daigné s’occu-per d’en démontrer les applications les plus compliquées.Frénicle a publié un traité des carrés magiques , danslequel il a fait preuve d’une grande sagacité ; mais lesproblèmes numériques auxquels peut donner lieu ladisposition des nombres qui porte ce nom, ne sontd’aucun intérêt pour la science et doivent être relé-gués parmi ces difficultés sans objet, qui ont dû entra-ver, dès ses premiers pas, la marche de l’esprit liumaiu.On doit encore à Frénicle un traité des triangles rec-tangles, dans lequel, parmi plusieurs propositions re-marquables, il démontre qu’il n’v a aucun triangle rec-tangle en nombres entiers, dont l’aire soit un carré ouun double carré. Frénicle, qui était né à Paris , dans lespremières années du dix-septième siècle, entra en 1666à l’Académie des sciences , et mourut en 1675.

FROTTEMENT (Méc. ). Résistance qu’un corpséprouve à glisser sur un autre.

Toutes les fois que deux surfaces glissent l’une surl’autre, il y a frottement, parce que ces surfaces, quel-que polies qu elles nous paraissent, ne le sont jamais par-faitement, et sont couvertes d’éminences et de cavités.Lors donc que deux surfaces se touchent, les éminencesde l’une entrent dans les cavités de l’autre; et pour lesfaire glisser l’une sur l’autre, il faut en arracher les par-ties engagées, en soulevant le corps pour les dégager,et, par conséquent, vaincre le poids de ce corps. Ilfaut donc une force réelle pour faire glisser un corpssur un autre, ct ce qui résiste à cette force est ce quiconstitue le frottement.

Amontons est le premier qui ait envisagé cettequestion avec toute l’attention que mérite son impor-tance pour l’effet réel des machines. Il prétend ( Me'nu