IN

x 1 — C3* = Dy’

dans laquelle D sera <C.

Continuaut ces réductions, on parviendra nécessaire-ment à une dernière transformée dont l’un des coefficienssera l’unité, caries nombres B, A, C, D étant positifs etdécroissans , doivent se terminer par l’unité. Arrivéeà ce terme , l’équation finale qui sera

x 2 — y 2 — Mz* ou x 2 —z* = M y 2

peut se résoudre immédiatement, et sa solution feraconnaître celles de toutes les équations précédentes, etenfin celle de la proposée.

5. Avant de procéder à la solution de l’équation fi-nale, nous devons faire remarquer que pour passer d'unetransformée

x' 2 — Ay' 2 = BV 1

à la suivante

/>-A/>=BV*

on n’a pas besoin de remplir une nouvelle condition, etqu’ayant déjà trouvé

n 2 —A

B

B'Æ%

d’où

= B k 2

si l’on fait n = wiB'+ra', et qu’on prenne l’indétermi-née m de manière que n' soit B', on aura néces-sairement pour

n' 2 — AB'

un nombre entier positif plus petit que -J B'

6. Pour résoudre l’équation finale, que nous suppo-serons

x 2 — y 2 — Ma 1 ,

décomposons M en deux facteurs a, p, et concevons zdécomposé aussi en deux facteurs p et q ; nous auronsM = ajS, z = pq , et l’équation deviendra

x 2 —y 2 = {x-\-y) (oc—y) = *pp 2 a 2

Nous pourrons donc poser

x-\-y— «.p 2 , et x—y = Pq 2

Ce qui nous donnera

x g P’+iV2

^ 2

z =pq

■^■'nsi les trois indéterminées seront exprimées au moyende deux nombres arbitraires p et q. Si les valeurs de xet de y contenaient le facteur on le ferait disparaître®n multipliant à la fois x,y et z par 2

IN U1

La solution de l’équation x 2 —y 2 = Mz* comprendradonc autant de formules particulières qu’il y a de ma-nières de décomposer M en deux facteurs. Par exemple,si M—15, comme il n’y a que deux décompositions, sa-voir i et i5, 3 et 5, nous obtiendrons les deux solu-tions suivantes de x 2 — y 2 = 1 5z 2 .

x = p 2 -\-i5q 2y = p 2 — i5q-* = 2 pq ,

II

X ~ 3p 2 -\-5q 2y = 3p 2 — 5ÿz = 2 pq.

y. L’application de ces formules à des cas particuliersentraîne souvent de longs calculs que l’on peut abréger,lorsqu’on ne veut que des valeurs entières, par un grandnombre d’artifices ; mais nous ne pouvons nous y arrêter.Nos limites nous empêchent également d’exposer la mé-thode plus directe de résolution, fondée sur les fractionscontinues, qui ramène la solution de l’équation.

x 2 —A y 2 — ± B

à celle de l’équation particulière

n* — Ht 2 = ±: i

Nous ne pouvons que renvoyer nos lecteurs à la Théoriedes nombres de Legendre et aux Disquisitiones arith-melicæ de Gauss. Il existe une traduction française de cedernier ouvrage due à M. Poullet-Delisle.

INDICTION. ( Calendrier .) Cycle en usage dans lecalendrier ecclésiastique et dont l’origine n’est pointexactement connue: C’est une période entièrement arbi-traire , qui ne repose sur aucune considération astrono-mique , comme les Cycles solaire et lunaire {Voy. Ca-lendrier). Sa durée èst de i5 ans.

On trouve l’année de Y indiction romaine en ajoutant3 au nombre de l’année de l’ère chrétienne, et en divi-sant ensuite par i5; le reste de la division , s’il y en aun, marque Tindiction de l’année proposée; s’il n’y apas de reste, l’indiction est i5. Si, par exemple, onchèrche l’indiction pour l’année i836, il faut diviseri836-f-3, ou 1839 par i5, le reste 9 est l’indiction de-mandée.

INDIVISIBLES. (Géom.) On désigne par ce mot lesélémens infiniment petits, dans lesquels une figure géo-métrique peut être décomposée.

La Méthode des indivisibles , dont le principe philo- _sophique repose sur la génération indéfinie de l’étendue,a été introduite dans la géométrie par Cavalieri en i635,dans son ouvrage intitulé : Geonielria indivisibilium ;adoptée d’abord par un grand nombre de géomètres, aunombre desquels nous devons citer Torricelli , l’abusqu’on en fit bientôt, en voulant l’employer dans les pro-positions les plus élémentaires, fit ensuite mettre endoute 1 exactitude de ses principes y et , malgré son uti-