IN

•H6

IN

S sin x=

COS(X—;»)

2 sin-;/

+ £0/w£.

Une marche semblable, en se rappelant la relationgénérale

sin A— sin B = 2 sin \ (A—B), cos -j (A-(-B)nous conduirait à l’expression (i i)

2 cosx =

sin ( x —-il)2 sinji

const.

îo. La génération des intégrales du premier ordre,conduit très-facilement à celle des intégrales des ordressupérieurs, car2’yx est la même chose que 2(2ÿjr), 2 3 çxque 2 7 (Zfx) ou 2{2(sçx)) etc., etc. C’est ainsi, par exem-ple, que pour obtenir S 7 (fxJ , on commence par pren-dre l’intégrale du premier ordre qui est

Sx 7

x 3 x 7 . xi ,

3i-T+7T + A

A désignant la constante. En intégrant cette dernièreexpression, on obtient

2\r* = ~2x 3 — - 2x 7 -\-^2x4-A2x° 4-const.3 1 a 6 '

ce qui donne définitivement, en effectuant les intégra-tions indiquées

5x 7

ix

2 7 x 7 — ■ —r;-^-.-1-—+A —-4-co«^.

12t 1 3t 12 O l

On voit que l’intégration introduit un nombre de con-stantes arbitraires égal à celui de l’exposant de î’ordic.

n. La génération de l’intégrale de l’ordre m d’unefonction quelconque yx, s’obtient d’une manière géné-rale par les différentielles de cette fonction, et cette gé-nération présente des particularités remarquables quenous devons signaler.

Si l’on développe la fonction Ap-r , par la formule deTaylor ( Voy . différence, 34-) on trouve

Ayx = <f(x-\- i) —<fx =

dyx

dx

i . d 7 <fx i 7 d?yxi ' dx 7 i .2 ' dx 3

I .2.3

-f- etc

et, en comparant ce développement avec celui de lafonction exponentielle ex qui est

e*=i+f-f

Zl

1.2

7^73 + ctc ’

on voit, lorsque < y=^^i, ce qui donne

chpJC .

dx 1

_ i | (d?x) 7 i 3 ld<fx) 3 i 3

“ dx 7+ dx 7 1~ î+tzf - r^3 +ctc -

que ce dernier développement ne diffère, dans sa forme,de celui de Aq>x que par les exposans des puissances decbfx. Ainsi on pourra poser ( 12 )

dipx .

~c/jc~ L

A.<px = e aJL —- 1

pourvu que dans le développement du second membrede cette égalité on transporte à la caractéristique d lesexposansdespuissances de dyx. Conditioncssentiellesanslaquelle l’égalité ( 12 ) 11 ’a aucun sens ; cette égalité ne de-venant effective que par le développement du secondmembre.

Lagrange a remarqué le premier que cette analogieentre les différences et les puissances avait égalementlieu pour tous les degrés , et qu’on avait en général (i3)

ts m <px =

dyx t

dx

en observant toujours qu’il faut développer le secondmembre et transporter à la caractéristique d les expo-sans des puissances de d (px.

Cette relation (i3), ayant été démontrée pour toutesles valeurs positives et négatives de l’exposant m, donneimmédiatement (i4)

A— m ipx = 2 m <px =

d<px... dx

On écrit encore cette relation de la manière suivante

2 m yx =

r

I <px.

alors les exposans des puissances appartiennent immé-diatement à la caractéristique d et par la réunion de laquantité <fX on forme les différentielles successives dfx,d 7 <px, etc.

12 . Nous avons dû nous borner à présenter ici de lamanière la plus succincte les principes fondamentaux duCalcul inverse des différences -, quanta l'intégration deséquations aux différences à plusieurs variables, elle en-traîne des détails qui 11 c peuvent trouver leur placedans ce dictionnaire j et nous devons renvoyer au grandTraité du calcul différentiel de Lacroix.

II. Calcul intégral aux différences infiniment pe-tites. C’est particulièrement à cette branche du Calculdes différences inverses qu ’011 a donné exclusivement lenom de calcul intégral. Jusqu’ici les auteurs d’ou-vrages élémentaires ont présenté le calcul des diffé-rences finies comme entièrement distinct du calcul dif-férentiel , loutenreconnaissantccpendantqueccs calculsont de grands points de ressemblance. Cette distinctionqu’on a voulu établir entre les deux branches d’un seul

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