t

m

et même calcul, (branches qui ne diffèrent entre ellesque par la nature des accroissemens qu’on y considère)n’a aucun fondement; et si l’on remonte au principemêmede l’existence des différences des fonctions, c’est-à-dire à la génération de ces différences, dont la con-ception primitive est donnée pour les expressions

Différences réelles. Ayx= y (x-f-Ax)—<px

Différences idéales, dyx — dfxfidx)—<fX

on reconnaît sans peine que les différences idéales ouinfiniment petites ne sauraient avoir d’autres lois géné-rales qué celles des différences réelles ou finies. Nousavons en effet reconnu (différences), que les premièresde ceslois ne sont quedeseas particuliers des secondes,ceux où la différence Ax, devient dx, c’est-à-dire de réelle,devient idéale, et si alors les expressions se simplifientbeaucoup par le retranchement des termes qu i deviennentnuis, c’est uniquement en vertu de cette loi fondamen-tale des quantités infinitésimales , par laquelle l’égalitéde deux quantités quelconques A. et B , prises dans unemême sphère de grandeur, ne peut être altérée par l’in-fluence d’une autre quantité C, infiniment petite, com-parativement avec les grandeurs de l’ordre A et B. Ilen est évidemment de même des différences inverses ouintégrales et l’on peut toujours passer de l’intégrale Zyx

à l’intégrale J*ifX, en faisant l’accroissement i de la va-riable x, infiniment petit, et on faisant disparaître deson expression les termes affectés des puissances i 2 , P etc,qui sont autant de quantités infinitésimalesnullesdevanti ou dx. Par exemple , si dans l’intégrale donnée n° 4 ,pour la puissance x m onfait 7 =/ 4 r cette intégrale se ré-duit à

/

X"‘+l

x m -,—

(m-f-i j dx

Ce que l’on peut mettre sous la forme

x m +‘x m dx= — -i—m- j-i

/

m ur

nous obtiendrons, en intégrant les deux membres^ nx n —'dx

ou, les deux signes J*& d se détruisant,

x n = j' nx n — I dx = n^x n ~ l dx.

Nous avons déjà dit que les facteurs constans peuvent semettre en dehors des caractéristiques.

Cettedernière égalité nousdonne, en faisant n— î—m

Ç x^dx —

X m +I

(7W-j-l)

parce que dx est considérée comme une quantité con-stante.

Cependant il est toujours beaucoup plus court dechercher directement la différentielle df.r , que de t’ob-tenir de la différence Ayr, en y faisant i = dx, et telleest l’immense avantage des différences infiniment pe-tites que la génération d’une quantité quelconque peut^tre obtenue par leur moyen de la manière la plus sim-P* e possible. Nous allons donc procéder à la déductiondirecte des intégrales ou à la génération des fonctionsprimitives dont les différentielles sont données.

> 3 . Soit d’abord proposée la différentielle x m dx-,Puisq ue nous avons (diff. 43 )

(l 5 ). . .. d[x n '] — nx n ~'dx

Ainsi la règle générale pour obtenir l’intégrale Ae.x m dxest celle-ci : augmenter T exposant d’une unité et diviserensuite par le nouvel exposant et par dx. On peut re-marquer que cette expression est celle que nous avons

obtenue ci-dessus en passant de Zxm à x m .

Pour obtenir l’intégrale complète, il est nécessaired’ajouter au second membre de l’égalité précédente unequantité constante C , qui reste entièrement arbitraire,tant qu’aucune circonstance ne vient déterminer la va-leur que doit avoir l’intégrale pour une valeur particu-lière de la variable x. En effet, quelle que soit la quan-tité constante C, on a

d\_C x n ] — dx n = nx n —'dx

et comme toute trace de C a disparu dans la fonctiondifférentielle nx n ~ I dx, on voit que cette différentielleest la même pour toutes les fonctions delaformeM-j-x'>,M étant une quantité constante quelconque; ainsi et réciproquant, l’intégrale de nx n ~'dx, c’est-à-dire M-f-Xnpeut avoir une infinité de valeurs , correspondantes àtoutes les valeurs qu’on peut donner arbitrairement àM. Nous avons donc généralement pour l’intcgrale dea m dx , l’expression

x m dx-

x mJ r -

7/1+t

+ C

Si, d’après la nature de la question qui conduit à ladifférentielle x m dx , son intégrale devait s’anéantir, oudevenir zéro, lorsque la variable x reçoit une valeurparticulière b , cette circonstance exprimée dans (16)donnerait

-i- + c.

m -\-1

D’où l’on obtiendrait

r Zi'"+i

i