m IN
Alors la constante ne serait plu» arbitraire, et l’inté-grale complète serait, (17),
x m + 1 — £"»+«
f
x m dx = •
m-\-i
C’est par un procédé entièrement semblable que l’onpeut déterminer la valeur de la constante dans toutes lesintégrations où les intégrales doivent recevoir des va-leurs particulières pour certaines valeurs de la variable.
> 4 . L’expression (i 5 ) ayant lieu pour toutes les valeursde l’exposant, il en sera de même de l’expression (16).Dans le cas de l’exposant négatif, on a donc aussi
m
une fonction yf/x de x telle que sa différentielle soit—, ou telle que l’on ait
d*x= £
X
la formule générale (16) paraît insuffisante pour en don-ner la génération. Il n’en est rien cependant, car sicette fonction i^x existe, elle doit avoir une valeurquelconque b, correspondante à x=o , b pouvant êtred’ailleurs lui-même égal à zéro ; et comme par cette con-sidération l’intégrale complète, pour toutes les valeursde l’exposant m, est(17)
/
x~ m dx
— m- j-i
Ce qui est la même chose que'dx
+ c
/
x m dx =
1 — b m ~*r 1
m- J-I
(18).
. p™ = _-_+
J x m (1— fil) X m — 1 1
cette intégrale, dans le cas de m = — 1, devient'dx x °— b°
(1— m ) ,
Pour les valeurs fractionnaires positives et négatives del’exposant, on aurait de même
n+mm
mx
/ dxX
O
O
<■ 9 )•••■/
n dx-.
n-\-m
+ c
Z 1 -*? =—“—+c
' * / n n —m 1
*/ x m (jn — n)x m
L’application de ces formules ne présente aucune dif-ficulté. Par exemple, si l’on veut intégrer la quautité*
ax *dx j en faisant dans (19), n — 4 , m = 5 , on obtientimmédiatement
P 4 , ! - 9
/ 5 j 5 5 1
a ! x dx — a. -= -. ax + C
U 9 9
La formule (20) ferait également trouver
1 _* „ /^dr 3 3 » i-
dxy/ax —* — \/a j —~=\/a. -—| = 3 \/a.x*
x 3 l .X ^
s _
= 3 \/ax -f- C
i 5 . La formule générale (16) dont (18), (ig)et(2o)ne sont que des déductions, présente un cas particulierremarquable que nous devons examiner j c’est celui oùm = — 1, car alors elle donne
c’est-à-dire, une quantité indéterminée dont on peuttrouver la valeur par le procédé donné au mot Diffé-rence, n° 47 - En effet, considérant m comme la varia-blé, dans l’expression générale, et différcntiantles deuxtermes de la fraction, on obtient, en désignant par lacaractérisque L, le logarithme naturel de la quantité quien est affectée,
— 6'”+']
<'«+*]
x m + l .hx.drn — b m +i.hb.dnidpi
x m +*. Lx — b m ~ , .Lb
ce qui devient dans le cas de m =— 1Lx—Lb
Nous avons donc aussi
/
’ — = Lx - LJ
X
ou
f
— = Lx + C
L b demeurant indéterminé. Cette difficulté qui se pré-sente dans l’application de la formule générale (16) tientà la nature transcendante delà fonction Lx,
En partant de la différentielle
d Lx= —
X
f
— = - 4 - Cx o
( Voy. diff. 3i.) on aurait reconnu immédiatementque, (21),
''dx
étant une quantité infiniment grande, ce résultat ne
nous apprend rien , à cause de l’indétermination com-plète de la Quantité C. Ainsi en admettant qu’il existe
/t = l *+c
16. L’intégration delà fonction simple x^cir, donneles moyens d’obtenir non seulement celle de toutes les