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IN -M9

fonctions différentielles rationnelles et entières d’uneseule variable x, mais encore celle d’un grand nombrede fonctions différentielles irrationnelles. C’est ce quenous allons faire voir.

Toute fonction différentielle rationnelle et entièred’une même variable peut se ramener à la forme

\kxx -\-BxP + Ca;? + DxJ -f- etc.. .]*&.

Dr, en vertu de

d’abord dans ce cas, quel que soit même l’exposant ; carfaisons a-J-Ar==z ce qui donne

z—a , dzx = —=— , et dx= — j-b b

substituant ces valeurs dans la fonction donnée, nousobtiendrons

(a-\-bx) m dx = - Z

j' (X + T+Z+etc.)= J' X+ J' Y+ J' Z+etc.

Dn a

J* [Ax^-f- Bx^-J-Ca^-f-Dxs'-j-etc. .]dx— A J'x*dx

+ *f x?Ax

+ c J "* x'idx

+ D f Xtfdx-)- etc.

expression qui, en intégrant chaque terme en particu-lier, devient

et, par conséquent

J'{a+bx)"'dx=

2 m +I

mettant pour z sa valeur, nous obtiendrons définiti-vement

[a-\-bx) m dx —

(. a-\-bx ) m + 1

~ (w+i )b~

C

19. La même transformation peut encore être em-ployée pour la fonction plus composée

(a-\-bx n ) m x n — 1 dx

J £A*« + Br*+etc...]Æc=A—^ + B^~

-j- etc.-J- consi

en effet, faisant a-\-bx n = z , on trouve

dz=d(a-\-bx n )=bd(x n )=nbx n — 1 dx

Il n’y a besoin d’ajouter ici qu’une seule constante ar-bitraire, car on voit aisément que si l’on en ajoutait unepour chaque monome leur somme serait encore repré-sentée par une seule quantité arbitraire.

17. Les fonctions de la forme

(A-f Bx -f-C.-e 1 +Dx 3 -j- etc.. .)* dx

pourront encore être intégrées de la même manière,Puisqu’en développant la puissance on obtient une suitede termes dont la forme générale est

Mxpdx

et par suite

{a-\-bx n ) m x n — 1 dx

z m dznb

Mais

/ z m dz 1 p j z m +*

~TdT HbJ ZmdZ ~ (rn+i)nb

Donc

/ Z mm b l(a-\-bx n ) m x n — 1 dx =e -— r1 ' (m-f-i)no

_ {a-^-bx^m+i

( m-\-i)nb

+C

et 1 cette intégration peut avoir lieu d’après les formules> lB )> (18), (19) et (20), pour toutes les valeurs entières etau tres de l’exposant m. Lorsque cet exposant est entieret positif l’intégrale se compose d’un nombre fini dete >'mes; dans tous les autres cas, elle est représentéeP ar une série indéfinie.

•8. Il existe quelques fonctions delà forme ci-dessus0n ton peut, à l’aide de certaines transformations, ob-tenir l’intégrale, sans avoir besoin dedévelopper la puis-sance. Nous allons les examiner.

L’intégration de la fonction binone (a-\-bx) m dx, est

Comme en général d<fX m — rntpz m — 1 . d<fx, toutes lesfois que la quantité qui multiplie la puissance sera

la différentielle de la base <fx on pourra obtenir l’inté-grale, par des considérations semblables aux précé-dentes, soit par exemple la fonction différentielle

(a+ bx-\-cx 1 ) m .{b-\--icx)dx

il est facile de reconnaître que {b+- 2 cx)dx , ou quebdx-\-icxdx, est la différentielle de a-f bx+cx* , caren faisant