IN .

420 IN •

on a

dz=bdx-\-2Cxdx

Cette fonction est donc la même chose que z m dz, etpar conséquent son intégrale est

(a-fùx-f-cx 1 ) m . ( b-j-icx)dx — ' ---!" C

20, Lorsqueles transformations précédentes ne peuventavoir lieu, il faut , comme nous l’avons déjà dit, dévelop-per la puissance et intégrer la série résultante terme purterme. Soit, par exemple, (a— bx 3 Ydx la fonction pro-posée; on obtient eu développant

(a — bx 3 ) i dx=a i .dx — ^a 3 bx 3 .dx-\-6a*b*x 6 .dx— $ab 3 x9.dx-{-b*x".dx

Ainsi, intégrant chaque terme en particulier , on trou-

IN

Mais z est, ici, l’arc dont le sinus est égal à x, ainsion 3,(22),

C —= arc (sin=x) 4 -C

J y/i —x* V 1

22. On peut ramener à l’intégrale précédente celle dedx

Va* — x*, car en divisant les deux termes de la fractionpar a, ou obtient

dx

a

V '4

vcra

J' (a—bx 3 fdx=a^x— a 3 bxi+$a'b'xi— I 4,aù 3 x'°-|- I -3Ù 4 x l3 -i-C

Si la fonction proposée était

dx

; , on aurait aussi

\/i— x 1

J'-^~===J dx{ 1— x)— i==y^c?x+7X a ^x-}-etc. J

d’où

/:

. x dx

et cette quantité étant composée en -, comme — -

a y'1 — x *

l’est en x, il en résulte

r dx c. x\, n

/ —===arc( sui = - 4 -C

J y/a'—x* v a J

a 3 . On trouverait en opérant comme ci-dessus,

(a 3 )- C - =arc (cos=x)-J- C

y /1 — x 1

\/>

dx1—J—x ,:dx

■■ arc (tang = x) + C

dx 1 x 3 1 3 x 5 . i 3 5 x? , , _

= =x-f~.-h -.7.-=-+ -.7.7.-hetc.+C

y/l—X* 2 2 2j 5 1 7 1

21. Les fonctions circulaires sinus et cosinus peuventdans plusieurs cas dispenser de l’intégration par série, etfournissent alors des intégrales très-simples et très-utiles. Rappelons-nous (diff. 33 ) que

d sin z = cos z.dzd cos z = —sin z.dz

D’après la nature de ces fonctions on a ( Voy. Sinus)cos , z-j-sin , z=i

d’où l’on tire

( 2 4 ) • • • • J *■

/ doc

—— _ = arc (sin. verse = x)- 4 -C

\/2X—X 1

Intégrales qui conduisent aux suivantes :

(cos = -)+Ca '

cosz = \/i—sin*z

Substituant cette valeur dans celle de rfsinz, il vient

r/sinz = dz.y/i —sin’z

! V

Faisons maintenant sinz = x, et nous obtiendronsl’expression

dz-. dx

\/l — X J

dont l’intégration donne

/

dx

y/i—x

- — S-f-C

— dx ,

— ■ ■ - =• arc (c

y/a ‘‘— x 1

/ doc 1

S^x’ = 5 -«~(tang=*)+C

/ dx , . x x , _

— -— _ = arc (sin. verse = -J-f-C

y/2 ax — x* a

Ces expressions fournissent plusieurs conséquences re-marquables que nous allons examiner.

22. Considérons en particulier l’intégrale (24), ctclicr-chons-cn une autre expression en intégrant par série.Nous avons

T^ = ^~ ldx

ce qui devient, par le développement de la puissance — 1

dx

-jp" = dx — x'dx -{- x*dx — x'\lx + etc.

Ainsi intégrant terme par terme nous obtiendrons

/ dx x 3 x 5 xi ,

—r—; — CC — —— - 4 —— — — —f- etc. * >i+x* 3 ^5 7 '