m

d’où, en comparant avec (24)

arc (tang = x) = x ■

x 5 xi . x 9

j-etc.

IÎN \%\

en effet, représentons a -x par z, nous auronsa-\-x = z, et d(a-\-x) = dz, ou dx = dz

II n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce qu’enfaisant x = o , l’arc se réduit à zéro.

Cette série qui donne l’arc , au moyen delà tangente,peut servir pour trouver la valeur de la circonférencedu cercle dont le rayon est l’unité, car on sait que l’arcégal à la huitième partie de la circonférence a sa tan-gente égale au rayon, faisant donc x = i, nous aurons

7T

arc ( tang = i) = - , désignant toujours la demi-cir-conférence pour le rayon = i, et, par conséquent, (25),

1 i 1 1 i 1 1 i .

= I — ô “f" r-1-H c ^ c -

3 ' 5 79 ii

Opérant de même sur l’intégrale (22), nous trouve-rons,'(26),

,. , . 1 x 3 , 1.3 x 5 1.3.5 xi

arc pin = x) = x + 7-~ +^r«--+etc.

2‘3 ~2.4'5 '2.4-6 7

. . dx dz „ , , „

ainsi q ~Ç x = ~z 1 comme “ après la formule (21),

/t- Lz + '

si l’on substitue à la place de z sa valeur, on trouvel’expression (27).

dx

Ceci pose , puisque —= (a-f-x)— ulx , on a

I X JC 1

(aA-x)— l dx = - dx —— dx 4- etc.

1 a a* 1 id

dont l’intégrale est

/ dx _ x x 1 , x 3 x 4 ,

a- 4 -x a 3a 4 la* r ctc • •

z-j-x

nous avons donc aussi

• +c

expression qui n’a pas non plus besoin de constante,parce que l’arc dont le sinus est zéro s’anéantit. Commele sinus du quart de la circonférence est égal au rayon ,si l’on fait dans cette dernière expression x= t, elle

donnera la valeur de ^ j maison peut obtenir une série

beaucoup plus convergente, en remarquant que le rayond’un cercle est égal au côté de l’hexagone régulier in-scrit [V oy. hexagone) et, par conséquent, que la moitiédu rayon est égale au sinus de la douzième partie de lacirconférence ; faisant donc x = t , nous auronsarcÇsin =£) , et

- — i _Ll xi J? _ L X I—— -1 _ X etc

6 2 ' 2'3.2 5 ' 2.4'ï>.2 5 ' 2.4.6 7.2^ '

série très convergente, car il suffit de 10 termes pourobtenir

7T = 6(0,52359877 . .) =•■ 3,l4l59262. . .

T / 1 \ X X * , X ' , . n

Ha+x) = _____ +____ e tc... + C

Pour déterminer la constante nous remarquerons quelorsquex=o, cette équation devient ha—o-\-C. Sub-stituant cette valeur de C, il vient

.. «i «3

L (a+x) = La -j- - +0-3 — etc-

v 1 ' 1 a 2a* 3 a 1

développement que nous avons trouvé ailleurs,pour lecas de n = i, d’une manière bien différente ( é' oy. dif-férence 37 . )

25. Passons aux fonctions différentielles fractionnairesplus composées que les précédentes, et considérons d’a-bord la fonction

A x m dx( a-\-bx) n

Si nous faisons a-\-bx—z , nous trouverons

v ulcur exactejusqu’à la huitième décimale.

24. L’intégration par 6érie appliquée à la fonctiondx

nous donne encore une génération du logarithme

naturel de a-\-x , que nous devons exposer. Il faut re-marquer d’abord que, (27),

f ~^Çx = L («+- r ) 4 - C

foirn 11,

x—

et dx

dz

T

substituant, la fonction proposée deviendra

A (z— a) m dzb m + 1 z n

ainsi, développant la puissance (z—«)»«, multipliant le

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