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résultat par dz et divisant ensuite chaque terme parb m + iz», on aura une suite de monomes à intégrer, etaprès l’intégration on remplacera z par sa valeur a-\-bx.L’exemple suivant va éclaircir ce procédé : soit lafonction proposée

A x*dx( a-\-bx )

ici, l’on a m= 2, n= 1, et la fonction en z devient

A(z— a)*dzb*z

Nous avons donc, en développant la puissance,

A(z —cùfdz Azdz lAadz , AaVz

ÏFz ~ï* b % b % z

Intégrant d’après les règles (16) et (21) les monomes

A , 2A a . A a* dz

î— * Zuz • 1 », • ciZf ~~j ~ • __

nous obtiendrons

/ A(z—aWz Az 1 2Aaz Aa 1 r . n—= 2 ^“ ~b^+lF- Lz + C

représentera toutes les fonctions différentielles ration-nelles et fractionnaires.

Nous devons d’abord remarquer que le plus grandexposant de x dans U peut toujours être supposé pluspetit, au moins d’une unité , que le plus grand expo-sant de x dans Y j car dans le cas contraire une simple

.U Ü'

division pourra changer l’expression ÿr, en JR. R

désignant le quotient et Y' le reste de cette division ; onaurait donc alors

Vdx

V"

_ , V'dx

Rc£r-| y—

Mais R étant une fonction entière et rationnelle , sonintégration peut s’effectuer parles principes exposés ci-

dessus • il ne reste donc qu’à trouver l’intégrale de

13 'dx

V

dans laquelle le plus grand exposant de x est moindredans U' que dans V.

Pour intégrer les différentielles de cette forme, il fautdécomposer ~ en fractions partielles , en se servant

d’un procédé que nous allons indiquer et qui est fondésur la méthode des coefficiens indéterminés. Proposons-nous pour exemple la fonction

Remettant pour z sa valeur, nous aurons définiti-vement

(a 3 -\-bx*)dxa*x — x 3

=r lï >

-|- fl 1 L(n-j-àxJ J -j- G

26. Toutes les fonctions de la forme

Il faut d’abord décomposer le dénominateur en ses fac-teurs du premier degré, ce qui ne présente ici aucunedifficulté, puisqu’on a

aPx — x 3 = x[a? — x 1 ) — x(a — x)(a-)-x)

Ax m dx -|- Bx n dx -f- C xpdx -f- ete..(a-J-Ar)/*

Cette décomposition, fondement de toute l’opération,met la fraction sous la forme

pouvant se décomposer comme il suit

Ax m dx B x n dx

(a-\-bx)p' (a-\-bx f

Cxpdx

7 —j r t—r etc...(a-\-bx)p

leur intégration s’effectuera en opérant sur chaqueterme en particulier, comme nous venons de le faireci-dessus.

27. Si nous désignons par U et V des fonctions ra-tionnelles et entières dont la forme générale est

Axx + Bxp -)- Cx'/ -j- DxJ + etc. ».

la formo

U4

V

a 3 -j-Ar’x{a — x)[a-\-x)

et, représentant par A, B, C, d_cs quantités indétermi-nées, nous pouvons poser (28)

a 3 -\-bx ' 1 _A | B C

x{a — x)(a-\-x) x ' a—x ‘ ufx

Réduisant les fractions du second membre au mêmedénominateur, il vient pour leur somme,

A a*—Ax^-j-B ax -f-Bx 1 -(-C ax — Cx %x(a — x) (a-j-x)

quantité dont le dénominateur doit être identique avec