428
IN
33. Avant de passer à l’intégration des fonctions trans-cendantes , nous devons encore examiner les cas où lafonction binôme
P_
x m dx(a-\-bx n )7
\
peut devenir rationnelle ; cette fonction étant d’unusage fréquent.
D’abord sans rien diminuer de sa généralité nous pou-vons supposer que les exposans m et n sont des nombresentiers, car, dans le cas contraire , si l’on avait, parexemple,
- t F -
x s dx{a-\-lx u )t,
m
Une autre transformation , due à Euler , va nous faireconnaître une nouvelle condition qui, à défaut de celleque nous venons de trouver, permetde rendre ration-nelle la fonction binôme. Posons
a-\-bx n = x n zt
d’où
x n =-, x
zi—b ’
a n
U « ,
x m =-, x m ~ l dx ■
m '
( zi — b) n
m
m .q.zq—'dz
m
_-+«
factions - e f — ru-\-sts
X=z tu } d’où il résulterait
la somme des fractions - et -, étant ——-, on feraitsu su
{zi — b) n n(z<! — b) n
et nous obtiendrons la fonction transformée (35)
r+*
z ru dx(a- f- bz st )7
ce qui est la forme supposée. On peut aussi toujours re-garder n comme positive puisqu’on transforme
p
x m dx {a-\-bx— n ) t >en
p
— z~ m dz(a-\-bzn)7
par la substitution de ^ à la place de z. (
Ceci posé, donnons, pour plus de simplicité, laP
forme x m —'dx(a-\-bx n ) 7 , à la fonction binôme et fai-sons
a n 7 .q.zP+7-idzm p
/ l\ —I-H*
n{z7—b) n 7
alors
a-\-bx n = zi
{a-\-bx n )7=zp
et l’on trouve
Z7—a fz 7—a\~
xm ={rb-) n
zq —«V -1— b — J
On obtient donc, au lieu de la différentielle pro-posée, ( 34 )
Tb dz (-ïrÿ 1
qui devient évidemment rationnel le lorsque — est unnombre entier.
laquelle devient rationnelle si ~-j-^ est un nombreentier..
Soit, par exemple , la fonction binôme,
x s dx(a-\~bx 3 f
ici m —1=5, d’où m=6; n= 3, p= 4, q= 5; ainsi
—=^ = 2 , nombre entier. Substituant ces valeurs dan»n 3
la première transformation (34), il vient
Tb zi (-?“)* = é**' 3dx - a * d * )
dont l’intégrale est
5 ( z* 4 «z»
3ù* 114 9
Remettant à la place de z sa valeur \/a-\ bx 3 , on adonc
J xS dx (a-\-bx 3 y =-*-1 l(a+bx 3 )
i 4
fs
I ® \
■-a(«-f
+ c
Si la fonction proposée était
x^dx(a-\- bx 3 ) 3
Comme alorsp=i ,<jr=3, ns=3, m— <Toiun=5