IN

— = 3 n’est pas un nombre entier, et la première trans- exposant p étant In 3 quelconque ; faisons

IN 129

l’exposant p étant toujours un nombre fractionnaire

formation ne peut être employée. Mais on a —=

n 1 q

5.1 , ...

2 -|-j= nombre entier -, ainsi, substituant ces valeurs

dans la seconde transformation (35) on obtient

a*.z 3 dz(z 3 —bÿ

expression qu’on peut intégrer par la méihode des frac-tions partielles (yoy. n° 27 ) et dans l’intégrale de laquelleil faudra remettre ensuite la valeur de z, savoir:

x mmm — p f x n—idx ( a -j- bx n 'jP = dVd’où (Voy. le n°i 9 )

y _ ( a-\-b x")p + 1~ nb (P+ 0

D’après la formule (36), on a

f x"‘— n . x n —idx {a-\-bx n )p = —-' ) /;+l

J nb(p+i)

ria+bx^

-t-J ri btp+j) - d ' x >

v/

nfp+ 1 )

représentant, pour abréger, (af-bx”) par X, cettedernière expression deviendra

/•

x"‘-'dx.Xp =

X m -n.X! ; +<

>*m>+ïT

m—n

J'x m n * dx X>+ i

‘+ï

34. L’intégration de la fonction binôme dont nousnous occupons, ne pouvant s’obtenir d’une manière gé-nérale sans avoir recours aux séries, et les cas où il estpossible d’appliquer l’une ou l’autre des transformationsprécédentes étant très limités, il est important de sim-plifier l’opération en la décomposant de manière à fairedépendre une intégrale compliquée d'une autre plussimple. Le procédé qu’on emploie alors se nomme in-tégration par parties, et i! est fondé sur la loi des diffé-rentielles d’un produit de fonctions variables

d [Fx .fx] = Fx . dfx -f -fx. dFx

{Voy. Différence.) f'x m —'dx Tr — a(m — n)f x m —n—idx .XP

L’intégration des deux membres de cette égalité b (p n -h m )

donne L’intégrale de x"‘-i dx. Xp , se trouve donc ainsi ra-menée à celle de dx. Xp , et en opérant de la

même manière, on ramènerait cette dernière à celle ded’où x m ~1 dx. Xp , et ainsi de suite.

/ 36. Si dans la formule ( 37 ) on change m en m-\-n et pYx.dfx—Fx.fx. — j fx.dFx ell p—, f elle devient

Ainsi lorsqu’une fonction différentielle quelconque f'x mJ r n ~ 1 dx.Xp— 1 — 3 0 a '' Tn n ) J'x m ~ 1 dx.Xp —■

fx.dx pourra se décomposer en PÇ )dx , P et Q étant b(pn-\-m)

deux fonctions de x; si l’on peut intégrer la différen- Mais en observant queliclle Q dx , en désignant par V son intégrale , on aura

Or, on a

J' x m-n—ldx. X/'+* = J X”'~n-idx.X».X= a J x m ~'dx.Xp+ b f x n >—i dx. Xp

et par suite ( 37 )

F x.fx — J Fx. dfx- f- J'fx. dYx

J' P.Qfi?x = PV —Jx .dV

°U (36)

J P .dX =PV-/ Y.rfP

Ce qui ramène l’intégrale générale à l’intégrale parti-culière J'XdP

35. Pour appliquer cette méthode, donnons à la fonc-tion binôme la forme

x m ~ n . x "— 1 dx (a-\-bx’ l ]p

Jx»'-nlx.Xr=f x m ~ l dx. Xr-i.X

= afx m — l dx.XP— l -\-b f x m + n ~^dx.Xp— 1On obtient (38)

r x .-, d *.^^+EsL^^i

J pn-fm

Seconde formule de réduction qui fait dépendre l’inté-grale de x m ~ x dx. XP , de celle de x m -> dx. Xp- 1 .

37. Appliquons ces formules à l'intégrale

/ xf~ l dxV 1 —x 1

Tenu 11.

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