-150 IN
nous avons X=i— x 1 , a— i, b= —-i> n--‘i et p= -jlsubstituant dans (3^), nous trouverons
p x m—\dx x m — 1 \/JI—x'‘ ni —2
J V\ — x 3 ni —î ni —V* i— x 3
En vertu de cette même expression, nous aurons suc-cessivement i
/
->X m — 3 dx
x ni-iy , _
-x 3 m— 4 /'X"— S dx
yi — x 1
ni — 3
m —3 J yi — x*
’x m — 5 dx
x m ~ 6 y
x 3 , m—6 fx^-idx
Vl-X*
m —5
m —5 J Vi-æ 1
'X m ~ 1 dx
x m - s y t -.
-a; 3 m —8 px m —^dx
V 1— x*
m —
ni —7 J V 1—x 3
etc.=etc.
Substituant chacune de ces intégrales dans celle quila précède, et remplaçante—i par ni, nous obtien-drons l’expression générale
/ x m dx _( i , (é—i) ,
=- v—*■ I =*■"+
{ni —i) 3 l— 2
IN
f m-\- I 1
ni —i—2 —--1 I =m —i— m —i-f-2=o
cette dernière intégrale disparaît. Donc, dans le cas dem , nombre pair, l’intégrale générale dépend d’un arcde cercle, et dans le casde m impair, elle est immédiate-ment donnée par une suite de termes algébriques.
Par exemple, pour /«= 5 , d’où p= 2 , on a
[r‘+à*-
+rZ\+ c
et, pour m—6 , d’où p=3
A
x 6 dx , _(i ,
= =-l/i-*■«**-
V I —
64
m 41— 2
-f-etc.
{ni —i)p— il— 2 x m ~ , f JL + l |
^64.2" j
5.3.i
4- Ai ' -. arc (sin = tc)4- G1 6.4.2 ‘
38. Les formules (37) et (38) cesseraient d’être applica-bles si les exposans ni et p étaient négatifs, car alors cesexposans augmenteraient au lieu de diminuer. Dansce cas on renverse les formules de la manière suivante :on tire de (37)
Xp
constante.
y , v x m ~ "Xp+i— b{m-\-np) fx m ~ l dx.
x m - r ‘~ l dx.Xr— - , -
a {m — n)
et l’on substitue m-\-n à la place de n ; il vient (3g)
f^„,-, dx j^ : ^ xm - Xp+ '— b A+»+np)A m + n -'dx.XpJ a m
U étant un nombre entier quelconque. .. .
... , ., , Par une semblable transformation (38) donne (4o)
Ainsi prenant p de maniéré que m — ip—o, lorsque
m est pair, et que m— 2 p=i , lorsque m est impair; la —x"‘Xp+1 4-(m-\-n4-np)fx"—'dxXp +1
§ æ m —idæ * ** \ > u _
dernière intégrale de laquelle dépend la valeur de cette J * (p-\-i)na
' nif*\ 3{ni —i)pl— 3 /'x m -~ 3 t'dx .
mp l - 3 J y i—x* ‘
expression, sera : pour m pair
Ainsi dans le cas de m ou de p négatifs, on se servira des
(«*—1) ib /
" dx
formules (3g) et (4o) : c’est-à-dire de (39) lorsqu’on vou-
-1 /
ni a) -1
et pour m impair, •
VT-x> >
dra diminuer l’exposant de x , et de (4o), lorsque la ré-duction devra porter sur celui de X. On ne doit em-ployer les formules (38) et (4o) que dans le cas où l’expo-
{m— irj'H /
f* xdx
sant de X est plus grand que l’unité.
y 1—x 2 •
Lorsque dans l’une des formules (37), (38), (3g), (4«)le dénominateur s’évanouit, la formule devient illusoire,
Or, dans le premier cas, on a (voy. n° 21)
/ dx
rc(sin = x )
et dans le second , le coefficient de l’intégrale se rédui-sant a zéro, puisque l’on a, {voy. Factorielle, 2) pourle dernier factenr de son numérateur,
mais alors la différentielle proposée se réduit à un mo-nôme ou à unefractiouinlégrablcparlesprocédés expo-sés précédemment.
3g. Nous allons procéder à l’intégration des fonctionstranscendantes, c’est-à-dire, des fonctions de la forme
<j>x.{ L x)»dx , yx (sin x) n dx , fX ( a x )dx<fx étant une fonction élémentaire de x.