IN
La méthode de Y intégration par parties nous offre en-core ici le moyen de ramener les intégrales de ces fonc-tions à d’autres plus simples. En effet, prenons pourexemple la fonction logarithmique
IN 151
77 Î-J— I
3.a
et posons
x m dv. (La:)"
x m dx = dS , d’où V =
-f- C
(™+i)
3.2.1
'(«i+ 0 3
x m + lm -\-1
Alors en faisant (Lx)"=P, la formule (36), (n° 34), nousconduit à (4i)
La série se prolonge à l’infini, lorsque n est fraction-naire, et l’on peut encore l’employer ; mais quand n estnégatif, il faut renverser l’expression générale (4i) ,comme nous l’avons fait ci-dessus (n° 38), et l’on aalors (4a)
7» , ,T N x“+*(Lx)» n r , T , v f‘ x m dx X'"+1 m -f r n X md x
Jx m dx. (Lx)" _ x m dxÇLxr * J (La:)" («-i)(La:)"~i^ n-ij (Lx)"-f
expression qui fait dépendre l’intégrale proposée d’uneintégrale plus simple, puisque la puissancede Lx est di-minuée d’une unité. Donc, dans le cas où n est un nom-bre entier positif, comme cette dernière formule donneimmédiatement les suivantes, en y changeant successive-ment n en n —i , n — 2 , etc.
yWx.(Lx)"-i=^iï^— — ^ZLj] C ’ndx(LxY-^
J'x m dx (Lx)" - 1 =—- ’~^J^ m ^x{Lx) n - 3 -,
etc.=etc.
on pourra toujours, eu diminuant n jusqu’à cequ’il devienne zéro, ramener l’intégrale générale à
ne dépendre que de l’intégrale particulière J'x m dx,laquelle est simplement ;
t
La formule générale qu’on obtient par la substitutionde chaque intégrale dans celle qui la précède est
+îfce (L ,^-.
(™+>r
n(n — i )(/;— 2 ) (La; )”— 3 (w+1) 3
+ etc.
+ (— 1 )". 1——(Lx)"—"
v (m-f- r)" v >
-j-construite
Dans le cas de n—3, on a
d’où l’on tire, en supposant que n soit un nombre en-tier
f‘x m dx
J (Lx)""
x"‘+i
(m-\- \)x m +'
(Lx)" (n —i)(Lx)«—1 («— i)(n —2) (Lx )"- 1
( 7 «-j-i) 2 x" ! -t - 1
(n — i)(k —2 )(«— 3 ;(Lx )"— 3(t/z—J— 1 )"— 1 . /'x m dx
— etc...
i-)- r )"— 1 . r's
J
Lx
+ c
Cette intégrale dépend donc, en dernierlicu, de cellcdex m dx
—-, dont nous apprendrons plus loin à trouver la
JL#
valeur.
Nous devons faire observer que lorsque m=— t . laformule (4i) n’est plus applicable : mais l’intégrale s’ob-tient alors facilement par une des transformations ensei-
doc
gnées ci-dessus; car en faisant Lx =u, d’où— = du ,comme d’après ( 16 )
u n+i
f
U n du :
«+i
on a
/
'dx( Lx)"
x
n-j-i
i-(Lx)»+*+C
Pour la môme valeur — 1 , de m , la formule (4a),donne
/:
dx
x(Lxj"
(11 — 1 )('Lx)
-f-c
n —1 1
quantité dont la partie variable devint infinie, lorsquen=i. Ici, encore, l’intégrale peut être obtenue en faisantLx=« , parce qu’on la transforme en
/
du
= L u